Ensino Superior ⇒ Convergência e Divergência da Integral Imprópria

[camy]

A integral [tex3] \int\limits_{1}^{+\infty}\,\,\frac{\sen x }{x}\,\,dx[/tex3] é convergente ou divergente? Justifique sua resposta.

[ManUtd]

esta integral imprópria deve ser feita usando o critério de comparação:


lembre-se de que [tex3]\int_{0}^{+\infty} |f(x)| dx[/tex3] convergir temos que [tex3]\int_{0}^{+\infty} f(x) dx[/tex3] tbm convergirá.

então : [tex3]\int_{0}^{+\infty} \frac{senx}{x} \; dx = \lim_{p \rightarrow +\infty } \int_{1}^{p} \frac{senx}{x} \; dx[/tex3]



comece resolvendo [tex3]\int_{1}^{p} \frac{senx}{x} \; dx[/tex3] por partes:

[tex3]\int_{1}^{p} \frac{sen x}{x} \, dx=-\frac{cosp}{p}+cos(1)-\int_{1}^{p} \frac{cosx}{x^2} \; dx[/tex3]



então ficaremos com:


[tex3]\int_{0}^{+\infty} \frac{senx}{x} \; dx = \lim_{p \rightarrow +\infty }-\frac{cosp}{p}+cos 1 +\int_{1}^{p}\frac{cosx}{x^2} dx \\\\\\ \int_{0}^{+\infty} \frac{senx}{x} \; dx = \lim_{p \rightarrow +\infty }-\frac{cosp}{p}+cos 1 +\lim_{p \rightarrow +\infty }\int_{1}^{p}\frac{cosx}{x^2} dx \\\\\\ \int_{0}^{+\infty} \frac{senx}{x} \; dx =0+cos(1) +\int_{1}^{+\infty}\frac{cosx}{x^2} dx \\\\\\ \int_{0}^{+\infty} \frac{senx}{x} \; dx =cos(1) +\int_{1}^{+\infty}\frac{cosx}{x^2} dx[/tex3]




temos que resolver [tex3]\int_{1}^{+\infty}\frac{cosx}{x^2} dx[/tex3] , usando o critério da comparação e o fato que:


[tex3]0 \leq |cosx| \leq 1 \\\\[/tex3] , dividindo por "[tex3]x^2[/tex3]" já que não altera a desigualdade:


[tex3]0 \leq |\frac{cosx}{x^2}| \leq \frac{1}{x^2} \\\\[/tex3] para [tex3]x \geq 1[/tex3]


como [tex3]\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^2}\; dx[/tex3] é convergente (verifique isto), temos que [tex3]|\frac{cosx}{x^2}|[/tex3] é convergente e isto implica que [tex3]\frac{cosx}{x^2}[/tex3] tbm é convergente.


Assim concluímos que [tex3]\int_{1}^{+\infty} \frac{senx}{x} dx[/tex3] é convergente.