IME / ITA ⇒ (Simulado ESPCEX) Progressão Geométrica Tópico resolvido

[BrunoCFS]

A soma da série infinita [tex3]1+\frac{4}{5}+\frac{7}{5^{2}}+\frac{10}{5^{3}}+...[/tex3] é.

a) [tex3]\frac{35}{16}[/tex3]
b) [tex3]2[/tex3]
c) [tex3]\frac{15}{7}[/tex3]
d) [tex3]\text{Indeterminada}[/tex3].
e) [tex3]\text{Infinita}[/tex3].

Alguém poderia me ajudar a intender essa questão, pois não consigo determinar a razão dessa sequência.
Agradeço desde já.

Abraço !

[theblackmamba]

Olá Bruno,

Temos uma PA-PG (PA no numerador e PG no denominador). O truque é multiplicar a soma pela razão da PG e depois subtrair:

[tex3]S=1+\frac{4}{5^1}+\frac{7}{5^{2}}+\frac{10}{5^{3}}+...[/tex3]
[tex3]5S=5+4+\frac{7}{5^{1}}+\frac{10}{5^{2}}+\frac{13}{5^3}...[/tex3]

[tex3]5S-S=8+\frac{3}{5^1}+\frac{3}{5^2}+\frac{3}{5^3}+...[/tex3]
[tex3]4S=8+3\cdot \left(\underbrace{\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{5^3}+...}_{\text{PG infinita}}\right)[/tex3]
[tex3]4S=8+3\cdot \left(\frac{\frac{1}{5}}{1-\frac{1}{5}}\right)[/tex3]
[tex3]4S=8+\frac{3}{4}=\frac{35}{4}[/tex3]
[tex3]\boxed{S=\frac{35}{16}}[/tex3]

[BrunoCFS]

Eu não entendi quando você disse que eu deveria pegar a soma e multiplicar pela razão da PG e depois subtrair a soma.
Como você deduziu que para resolve-la teria que fazer isso ?
Obs: Eu entendi a resolução abaixo, só não entendi seu raciocínio para resolve-la.

[theblackmamba]

É um macete que foi usado aqui no fórum muitas vezes. Sempre que você tiver uma PA-PG multiplicando a soma pela razão da PG e depois subtrair sempre irá surgir uma PG infinita, a qual sabemos calcular.
Abraço.

[BrunoCFS]

Entendi brother, obrigado pela ajuda.

Abraço !