Pré-Vestibular ⇒ (EBM) Polinômios Tópico resolvido

[DaviBahia]

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"Em um determinado modelo de GPS, uma das opções de tela é a localização através de um sistema de coordenadas cartesianas cuja origem [tex3]O = (0\,;\, 0)[/tex3] representa um ponto escolhido pelo usuário..."

Considerando-se que a parte da curva definida por [tex3]P(x) = x^3 + bx^2 + cx + d[/tex3], representada no gráfico, fora de escala, descreve o trajeto feito por uma pessoa do ponto [tex3]A[/tex3] até o ponto [tex3]B[/tex3] e admitindo-se a possibilidade do percurso retilíneo de [tex3]A[/tex3] até [tex3]B[/tex3], esta trajetória será descrita algebricamente por

[tex3]1)\,\,y = 5x + 10[/tex3]
[tex3]2)\,\,y = 5x +15[/tex3]
[tex3]3)\,\,y = 8x + 20[/tex3]
[tex3]4)\,\,y = 10x + 15[/tex3]
[tex3]5)\,\,y = 10x + 20[/tex3]

(Sem gabarito)

[jrneliodias]

Olá, DaviBahia.

Vamos dividir o que iremos fazer em duas partes, determinar os coeficientes [tex3]b[/tex3], [tex3]c[/tex3] e [tex3]d[/tex3] e depois, os pontos [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3].

Entre os coeficientes, o [tex3]d[/tex3] é o mais fácil, pois [tex3]P(0)=d[/tex3], então [tex3]d=-4[/tex3].

[tex3]b[/tex3] e [tex3]c[/tex3] determinamos através de um sistema:

[tex3]P(-1)=0\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,-1+b-c-4=0\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,b-c=5[/tex3]

[tex3]P(1)=-6\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,1+b+c-4=-6\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,b-c=-3[/tex3]

Nosso sistema:

[tex3]\begin{cases}b-c=5 \\ b+c=-3\end{cases}\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,b=1\,\,\,\,e\,\,\,c=-4[/tex3]

Logo, o polinômio [tex3]P(x)[/tex3] é dado por:

[tex3]P(x)=x^3+x^2-4x-4[/tex3]

Agora, fatoremos para achar todas as raízes:

[tex3]P(x)=x^3+x^2-4x-4\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,P(x)=(x+1)(x^2-4)[/tex3]

Deste modo:

[tex3]P(x)=0\,\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,\,\,x=-2\,\,\,\,ou\,\,\,x=-1\,\,\,\,ou\,\,\,\,x=2[/tex3]

Determinando os pontos [tex3]A\,(x_a\,,\,0)[/tex3] e [tex3]B\,(4\,,\,y_b)[/tex3]. Note que [tex3]P(x_a)=0[/tex3] e [tex3]x_a<-1[/tex3]. Então, [tex3]x_a=-2[/tex3]

[tex3]A\,(-2\,,\,0)[/tex3]

Para o ponto B, temos:

[tex3]P(4)=y_b\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,(4+1)(4^2-4)=y_b\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,y_b=60[/tex3]

[tex3]B\,(4\,,\,60)[/tex3]

Para determinamos uma reta, é necessário e suficiente que tenhamos dois pontos. Sendo a reta escrita na forma [tex3]y=ax+b[/tex3], teremos:

[tex3]\begin{cases}a(-2)+b=0 \\ a(4)+b=60\end{cases}\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,a=10\,\,\,\,e\,\,\,b=20[/tex3]

Portanto, nossa reta será:

[tex3]y=10x+20[/tex3]

Espero ter ajudado, abraço.

[DaviBahia]

Essa questão é bastante "polêmica"

Sem querer desprezar a sua resolução, postei a questão em vários lugares e ninguém respondeu o mesmo oO

Não encontrei o gabarito mas o procurarei novamente.

[theblackmamba]

Olá jrneliodias,
Teve um pequeno deslize de sinal no final da solução. O certo é [tex3]b=20[/tex3]. Logo teremos a Letra E

Abraço.

[jrneliodias]

Já consertei. Obrigado, theblackmamba.