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i) Mostre que num polígono regular com um número ímpar de lados, nenhuma diagonal passa pelo centro.

ii) Determine o número de diagonais que passam pelo centro de um polígono regular com [tex3]2n[/tex3] lados.







[tex3]\,[/tex3]

Karl, imagine um polígono regular inscrito

i) A maior diagonal de um polígono inscrito é o diâmetro dessa circunferência.

Duas das maiores diagonais partindo de dois vértices consecutivos de um polígono regular, formam dois triângulos isósceles opostos pelo vértice com bases iguais aos lados do polígono.
Esses dois triângulos serão semelhantes pelo caso: "ângulo , lado, ângulo" (ALA)

Como todos os vértices têem a sua maior diagonal, e por ser um polígono regular elas terão o mesmo tamanho, uma delas passando pelo centro da circunferência inscrita, todas passarão e nesse caso irão formar PARES de triângulos isósceles.
Logo, para que um polígono tenha uma diagonal passando pelo seu centro deverá ter, obrigatoriamente, [tex3]n\,=\,2x[/tex3] (com [tex3]x\,\geq2[/tex3]), lados; que não pode ser ímpar.

Thadeu escreveu: Logo, para que um polígono tenha uma diagonal passando pelo seu centro deverá ter, obrigatoriamente, [tex3]n\,=\,2^x[/tex3] (com [tex3]x\,\geq2[/tex3]), lados; que não pode ser ímpar.

O dodecágono regular tem [tex3]12=2^2\cdot 3[/tex3] lados e apresenta diagonais passando pelo centro. Acho que você quis dizer [tex3]n=2x[/tex3] lados.

Desculpe o erro...