Problemas Selecionados de Matemática (Gandhi)

Olimpíadas ⇒ Problemas Selecionados de Matemática (Gandhi) Tópico resolvido

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PauloLima Offline: Mensagens: 15; Registrado em: 09 Set 2012, 11:53; Agradeceu: 10 vezes

Ago 2013 24 16:33

Problemas Selecionados de Matemática (Gandhi)

Mensagempor PauloLima » 24 Ago 2013, 16:33

Mensagem por PauloLima » 24 Ago 2013, 16:33

Questão 29 do livro Problemas Selecionados de Matemática (Gandhi)

O número [tex3]10^{2002}[/tex3] - 1 é divisível por 2003. A soma do 11111111º com o 11111112º algarismos após a vírgula da expansão decimal de [tex3]\frac{1}{2003}[/tex3] é igual a:
(a) 1
(b) 3
(c) 5
(d) 6
(e) 9

Resposta

Gabarito: C

Editado pela última vez por PauloLima em 24 Ago 2013, 16:33, em um total de 1 vez.

PauloLima

theblackmamba Offline: Mensagens: 3723; Registrado em: 23 Ago 2011, 15:43; Localização: São Paulo - SP; Agradeceu: 806 vezes; Agradeceram: 2294 vezes

Ago 2013 24 20:47

Re: Problemas Selecionados de Matemática (Gandhi)

Mensagempor theblackmamba » 24 Ago 2013, 20:47

Mensagem por theblackmamba » 24 Ago 2013, 20:47

Olá Paulo,

A sua questão já possui uma solução neste link: viewtopic.php?t=194

Abraço.

"A coisa mais incompreensível do universo é que ele é compreensível"
- Albert Einstein

theblackmamba

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Primeira Postagem

PauloLima

Questão 62 do livro Problemas Selecionados de Matemática -Gandhi

Em cada uma das frações abaixo, a soma do numerador com o denominador é igual a 3980.
[tex3]\frac{1}{3979}[/tex3], [tex3]\frac{2}{3978}[/tex3], [tex3]\frac{3}{3977}[/tex3], ... ,...

Últ. msg

Anonymous

Eu vou reescrever a fração:

[tex3]\frac{n}{3980-n} \;; \; n \in \mathbb{N}[/tex3]

As frações devem ser próprias, portanto

[tex3]n<3980-n \Rightarrow 2n<3980 \Rightarrow n<1990[/tex3].

[tex3]3980=2^2.5.199[/tex3], portanto, para que a fração s...
jwf1PauloLima1Auto Excluído (ID:8010)1: 2 Resp.; 1857 Exibições; Últ. msg por Anonymous
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Problemas Selecionados de Matemática-953

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por lecko » 19 Set 2011, 15:07 » em Ensino Médio

Primeira Postagem

lecko

Questão retirada do livro mencionado no título acima:
O maior inteiro [tex3]k[/tex3] para o qual [tex3]2004^{2005^{2006}}+2006^{2005^{2006}}[/tex3] é divisível por [tex3]2005^k[/tex3] é igual a:
[tex3]A) 2004[/tex3]
[tex3]B) 2005[/tex3]
[tex3]C) 2006[/tex3]
[tex3]D) 2007[/tex3]
[tex3]E) 2008[/tex3]

Últ. msg

lecko

Consegui um pequeno progresso com essa questão:

[tex3]2004=2005-1[/tex3] e [tex3]2006=2005+1[/tex3] logo:

[tex3]\frac{(2005-1)^{2005^{2006}}+(2005+1)^{2005^{2006}}}{2005^k}[/tex3]
fazendo a expansão do Binômio de Newton temos:
Obs.: para facilitar...
lecko2: 1 Resp.; 491 Exibições; Últ. msg por lecko
06 Nov 2011, 18:36

Problemas Selecionados de Matemática-952

Últ. msg por gabriel93 « 03 Out 2011, 14:44
Enviado em Ensino Médio
Resp.: 4
por lecko » 19 Set 2011, 15:11 » em Ensino Médio

Primeira Postagem

lecko

A maior potência de [tex3]2[/tex3] que divide [tex3](2^{2005})![/tex3] é :
[tex3]A) 2^{2^{2005}+1}[/tex3]
[tex3]B) 2^{2^{2005}}[/tex3]
[tex3]C) 2^{2^{2005}-1}[/tex3]
[tex3]D) 2^{2005}[/tex3]
[tex3]E) 2^{2006}[/tex3]

Últ. msg

gabriel93

i) De [tex3]1[/tex3] a [tex3]xy[/tex3], temos [tex3]y[/tex3] múltiplos de [tex3]x[/tex3]. De fato, de [tex3]1[/tex3] a [tex3]8 = 2^3 = 2 \cdot (2^2)[/tex3], temos [tex3]2^2 = 4[/tex3] divisores de [tex3]2[/tex3]. Portanto:

Logo,...
gabriel933lecko2: 4 Resp.; 900 Exibições; Últ. msg por gabriel93
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Primeira Postagem

lecko

A soma dos valores dos inteiros positivos [tex3]x[/tex3] tais que [tex3]x[/tex3] e [tex3]x+99[/tex3] sejam quadrados perfeitos é igual a :
[tex3]A) 2621[/tex3]
[tex3]B) 2623[/tex3]
[tex3]C) 2625[/tex3]
[tex3]D) 2627[/tex3]
[tex3]E) 2629[/tex3]

Últ. msg

gabriel93

[tex3]x = c^2[/tex3]
[tex3]y^2 = c^2 + 99[/tex3]

[tex3](y+c)(y-c) = 99 = 3^2 \cdot 11[/tex3], cujas soluções são [tex3](99,1), (33,3)[/tex3] e [tex3](11,9)[/tex3]. (valor de [tex3]y+c[/tex3], valor de [tex3]y-c[/tex3])

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Primeira Postagem

lecko

No edifício mais alto da cidade moram Antônio e Eduardo. O número do andar do apartamento de Antônio coincide com o número do apartamento de Eduardo. A soma dos números dos apartamentosdos dois é [tex3]2164[/tex3]. Sabendo que há [tex3]12[/tex3]...

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gabriel93

Seja [tex3]x[/tex3] o andar do apartamento de Antônio e número do apartamento de Eduardo.

[tex3]n^o[/tex3] apart. de Antônio = [tex3]12(x-1) + y[/tex3], [tex3]1 < y \le 12[/tex3]

Assim: [tex3]12(x-1)+y+x = 2164[/tex3]

[tex3]13x + y = 2176[/tex3]...
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