Ensino Médio ⇒ Geometria Analítica. (Simetria) Tópico resolvido

[BrunoCFS]

A soma das coordenadas do ponto simétrico [tex3]A(1,2)[/tex3] em relação ao ponto [tex3]B(4,1)[/tex3] é.
a) [tex3]7[/tex3]
b) [tex3]6[/tex3]
c) [tex3]13[/tex3]
d) [tex3]11[/tex3]
e) [tex3]-6[/tex3]

Resposta

---

letra: a) 7

Alguém poderia me ajudar a entender essa questão, pois tenho uma dificuldade absurda quando a questão se refere a simetria. Não consigo resolvê-la por nada.
Agradeço desde já pela atenção.

Abraço !

[jrneliodias]

Olá, Bruno.

Basta vermos o ponto B como um espelho. O que acontece nele? A distância entre [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3] será igual a de [tex3]B[/tex3] e [tex3]C[/tex3]. Também notamos que [tex3]A[/tex3], [tex3]B[/tex3] e [tex3]C[/tex3] são colineares.

Considerando o segmento [tex3]AC[/tex3], [tex3]B[/tex3] é o ponto médio do segmento, logo, por razão e secção:

[tex3]\frac{AB}{CB}=1\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,AB=CB\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\begin{cases}x_B-x_A=x_B-x_C \\ y_B-y_A=y_B-y_C\end{cases}[/tex3]

Desta forma, [tex3]x_C=7[/tex3] e [tex3]y_C=0[/tex3].

Espero ter ajudado, abraço.

[BrunoCFS]

Olá, Jrneliodias.
Sempre que uma questão falar que um ponto é simétrico do outro, eu já posso dizer que eles são colineares ?

e Também não entendi, como você deduziu que o ponto B é o ponto médio do do seguimento AC ?

e também não entendi por que você igualou isso a 1. [tex3]\frac{AB}{CB}=1[/tex3]

e também não entendi qual foi o objetivo disso.. [tex3]\begin{cases}x_B-x_A=x_B-x_C \\ y_B-y_A=y_B-y_C\end{cases}[/tex3]

Poxa brother, talvez possa parecer que eu esteja querendo abusar da sua boa vontade de ajudar, com tantas perguntas sobre praticamente tudo o que você explicou, mas é sério eu tenho uma dificuldade absurda nisso. Tentei jogar os pontos no gráfico para ver se enxergava alguma coisa, mas não saiu nada.. : /

[jrneliodias]

Calm down, mano. Vamos lá. Desenhando a situação, teremos:

as.png (20.67 KiB) Exibido 16239 vezes

[tex3]B[/tex3] é o nosso ponto de simetria, logo, ele é nosso espelho. Implica dizer que a distância [tex3]AB[/tex3] será simetricamente invertida em relação a [tex3]B[/tex3] originando o ponto [tex3]C[/tex3]. Note que graças a escala em tracejados claros, já podemos afirmar que [tex3]C = (7,0)[/tex3].

Só que essa solução não seria suficiente em uma prova. Então, entramos com a analítica. Devemos perceber que [tex3]AC[/tex3] é um segmento de reta e [tex3]B[/tex3] pertence a ela e equidista a mesma distância de [tex3]A[/tex3] e [tex3]C[/tex3], desta forma, [tex3]B[/tex3] é ponto médio de [tex3]AC[/tex3]. Assim:

[tex3]AB=BC\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\frac{AB}{BC}=1[/tex3]

Agora, pelas propriedades de Razão e secção na Analítica, se [tex3]B[/tex3] é ponto médio de [tex3]AC[/tex3] então ele também o será nas projeções do segmento nos eixos [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3].

Veja na figura que isso é claramente verdade. Com isso, podemos trabalhar no eixo x:

[tex3]AB_x=BC_x\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,x_B-x_A=x_C-x_B\,\,\,\Rightarrow\,\,\,x_C=2x_B-x_A[/tex3]

E no eixo [tex3]y[/tex3]:

[tex3]AB_y=BC_y\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,y_B-y_A=y_C-y_B\,\,\,\Rightarrow\,\,\,y_C=2y_B-y_A[/tex3]

Abraço, brô.

[BrunoCFS]

Entendi agora seu raciocínio, então só mais uma dúvida. Então eu poderia utilizar essa relação para qualquer tipo de exercício de simetria entre dois pontos ?
Essa relação aqui....>
[tex3]x_C=2x_B-x_A[/tex3]
[tex3]y_C=2y_B-y_A[/tex3]

Abraço !

[jrneliodias]

Sim, podemos

Abraço.

[BrunoCFS]

Valeu irmãozinho ! você é o cara !

Obrigado.. !