IME / ITA ⇒ (EPCAR - 2003) Progressão Aritmética Tópico resolvido

[Flavio2008]

Seja [tex3]n \in \mathbb{N}[/tex3] tal que [tex3]n[/tex3] dividido por [tex3]5[/tex3] deixa resto [tex3]3,[/tex3] [tex3]n[/tex3] dividido por [tex3]4[/tex3] deixa resto [tex3]2[/tex3] e [tex3]n[/tex3] dividido por [tex3]3[/tex3] deixa resto [tex3]1.[/tex3] Os três primeiros números naturais que satisfazem as condições de [tex3]n[/tex3] pertencem ao intervalo

a) [tex3][57, 60][/tex3]
b) [tex3]]58, 116][/tex3]
c) [tex3][60, 180[[/tex3]
d) [tex3]]57, 178][/tex3]

[fabit]

[tex3]n[/tex3] é termo da PA [tex3](3, 8, 13, 18, ...)[/tex3] pois deixa resto [tex3]3[/tex3] na div por [tex3]5[/tex3] [tex3](n=5k+3)[/tex3]

também pertence à PA [tex3](2, 6, 10, 14, ...)[/tex3] por raciocínio semelhante. Daí já sabemos que [tex3]n[/tex3] é par que termina em [tex3]3[/tex3] ou [tex3]8,[/tex3] logo não pode terminar em [tex3]3[/tex3] (pois seria ímpar).

Passando o raciocínio a limpo, [tex3]n[/tex3] está na PA [tex3](8, 18, 28, 38, ...)[/tex3]

Finalmente, deixa resto [tex3]1[/tex3] na div por [tex3]3[/tex3]. A cada [tex3]3[/tex3] da PA de cima, [tex3]2[/tex3] não servem e o terceiro serve. Veja:
[tex3]8[/tex3] e [tex3]18[/tex3] não são [tex3]3k+1,[/tex3] mas [tex3]28[/tex3] é. Depois [tex3]38[/tex3] e [tex3]48[/tex3] não são e [tex3]58[/tex3] é. Vendo que os que servem vão de [tex3]30[/tex3] em [tex3]30,[/tex3] o próximo que é bom é [tex3]88.[/tex3]

Resumindo, [tex3]28,[/tex3] [tex3]58[/tex3] e [tex3]88.[/tex3] Letra (e).

Abraço

[paulo testoniMOD]

Hola Flavio2008.

De acordo com o nosso colega Fabit os números [tex3]28[/tex3] e [tex3]88[/tex3] não satisfazem as condições do problema.

Vou usar o Teorema Chinês dos Restos, vejam a teoria em: Teorema Chinês dos Restos (Olimpédia).

• [tex3]n \equiv 3(\text{mod}5)[/tex3]
  [tex3]n \equiv 2(\text{mod}4)[/tex3]
  [tex3]n \equiv 1(\text{mod}3)[/tex3]

1. Inicialmente, multiplicaremos [tex3]4\cdot 3 = 12[/tex3]. Agora procuramos por um múltiplo de [tex3]12[/tex3] que seja congruente a [tex3]3[/tex3] módulo [tex3]5[/tex3]. Como [tex3]12[/tex3] não satisfaz essa condição, devemos fazer:

• [tex3]12\cdot 2 = 24, 12\cdot 3 = 36, 12\cdot 4 = 48.[/tex3]

Logo, [tex3]48[/tex3] satisfaz essa condição.

2. Agora consideramos a congruência [tex3]n \equiv 2(\text{mod}4)[/tex3]. Multiplicamos [tex3]3\cdot 5 = 15[/tex3], e procuramos por um múltiplo de [tex3]15[/tex3] que seja congruente a [tex3]2 (\text{mod} 4)[/tex3]. Como [tex3]15[/tex3] não satisfaz essa condição, devemos fazer: [tex3]15\cdot 2 = 30[/tex3]. Logo, [tex3]30[/tex3] satisfaz essa condição.

3. Por último consideraremos a congruência [tex3]1 (\text{mod} 3)[/tex3]. Multiplicamos [tex3]5\cdot 4 = 20[/tex3], agora procuramos por um múltiplo de [tex3]20[/tex3] que seja congruente a [tex3]1[/tex3] módulo [tex3]3[/tex3]. Como [tex3]20[/tex3] não satisfaz essa condição, devemos fazer: [tex3]20\cdot 2 = 40[/tex3]. Logo, [tex3]40[/tex3] satisfaz essa condição. A soma dos números encontrados é:

• [tex3]48+30+40 = 118[/tex3]

é uma das soluções.

A adição ou subtração dos múltiplos de [tex3]60[/tex3] (multiplicação entre [tex3]3 . 4 . 5),[/tex3] não afetam o resultado, portanto:

• [tex3]118 + 60 = 178[/tex3] e [tex3]118 - 60 = 58,[/tex3]

também são soluções válidas.

Logo:

• [tex3]n = 118 + 60\cdot K,[/tex3]

para todo [tex3]K \in \mathbb{Z}[/tex3]. Então [tex3]n \in [58,178],[/tex3] para os [tex3]3[/tex3] primeiros números naturais.

Portanto a resposta é a letra (d) [tex3]]57,178].[/tex3]