Pré-Vestibular ⇒ (IIT-Jee-2003) Trigonometria Tópico resolvido

[Cientista]

Qual é o valor máximo da expressão [tex3]\frac{1}{\sin^{2}x+3\sin x\cdot \cos x+5 \cos^{2}x}[/tex3]

[theblackmamba]

Olá Cientista,

Se queremos o máximo da função, então o denominador deve ser mínimo.

Vamos utilizar as relações:

[tex3]\sin^2\theta+\cos^2\theta=1[/tex3]
[tex3]\sin 2\theta=2\sin \theta \cdot \cos \theta[/tex3]
[tex3]\cos 2\theta=2\cos^2 \theta-1[/tex3]

[tex3](\underbrace{1-\cos^2\theta}_{\sin^2 \theta}+5\cos^2 \theta)+\frac{3}{2}\cdot 2\sin \theta \cdot \cos \theta=1+4\cos^2 \theta + \frac{3}{2}\sin 2\theta=[/tex3]
[tex3]=(2\cos^2 \theta-1)+(2\cos^2 \theta-1)+3+\frac{3}{2}\sin 2\theta=3+2\cos 2\theta+\frac{3}{2}\sin 2\theta[/tex3]

Na expressão [tex3]2\cos 2\theta+\frac{3}{2}\sin 2\theta[/tex3] vamos encaixar um macete que já foi usado aqui no fórum:

Se temos uma expressão do tipo [tex3]a\sin x+ b\cos x[/tex3] então podemos multiplicar o numerador e o denominador por [tex3]\sqrt{a^2+b^2}[/tex3], ficando com:

[tex3]\sqrt{a^2+b^2}\cdot \left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin \theta+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cdot \cos \theta\right)[/tex3]

Onde [tex3]\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}[/tex3] e [tex3]\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}[/tex3] são o [tex3]\cos[/tex3] e [tex3]\sin[/tex3] de um ângulo [tex3]\alpha[/tex3] (desenhe um triângulo retângulo para ver melhor).

Usando outra relação:
[tex3]\sin x\cdot \cos y+\sin y \cdot \cos x=\sin(x+y)[/tex3]

No caso,
[tex3]\sqrt{2^2+\left(\frac{3}{2}\right)^2}=\frac{5}{2}[/tex3]
[tex3]\sin\alpha=\frac{2}{\frac{5}{2}}=\frac{4}{5}[/tex3]
[tex3]\cos \alpha=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{5}{2}}=\frac{3}{5}[/tex3]

[tex3]2\cos 2\theta+\frac{3}{2}\sin 2\theta=\frac{5}{2}\cdot \left(\frac{3}{5}\sin 2\theta+\frac{4}{5}\cos 2\theta\right)=\frac{5}{2}\sin (2\theta+\alpha)[/tex3]

Logo,
[tex3]f(x)=\frac{1}{3+\frac{5}{2}\sin (2\theta+\alpha)}[/tex3]

Se queremos o valor mínimo para o denominador devemos pegar o valor mínimo da função seno que é igual a [tex3]-1[/tex3] quando [tex3]\sin (2\theta+\alpha)=-1\,\,\Rightarrow\,\,2\theta=\frac{3\pi}{2}-\alpha[/tex3]

Portanto o valor máximo da função será:

[tex3]f(x)_{max}=\frac{1}{3+\frac{5}{2}\cdot (-1)}[/tex3]
[tex3]f(x)_{max}}=\frac{1}{\frac{1}{2}[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{f(x)_{max}=2}}[/tex3]

Dúvidas pode perguntar.
Abraço.

[Cientista]

Mamba na primeira parte do lado direito, como é que deu 1? Sei que voce usou o sen²x+cos²x em algum sitiu só nao sei aonde. Depois na segunda parte antes dela vem 4cos²x. Tendo atençao que voce nao botou uma outra fórmula 1/2.sinx=senx.cosx, e cos²x=1+cos2x/2 foste um pouco directo na resoluçao

[theblackmamba]

Na primeira parte temos [tex3]\sin^2x+5\cos^2x[/tex3].
Na relação [tex3]\sin^2x+\cos^2x=1\,\,\Rightarrow\,\,\sin^2x=1-\cos^2x[/tex3]

Substituindo:
[tex3](1-\cos^2x)+5\cos^2x=1+4\cos^2x[/tex3].

Na parte que há [tex3]3\sin x\cdot \cos x[/tex3] eu multipliquei i denominador e o numerador por [tex3]2[/tex3]:

[tex3]\frac{3\cdot 2}{2}\sin x \cdot \cos x[/tex3] para encaixar a fórmula [tex3]\sin 2x=2\sin x \cdot \cos x[/tex3]:
[tex3]\frac{3}{2}\cdot \sin 2x[/tex3].


Dizer que [tex3]\cos^2x=\frac{1+\cos 2x}{2}[/tex3] é a mesma coisa que dizer [tex3]\cos 2x=2\cos^2x-1[/tex3]. Do mesmo modo dizer que [tex3]\frac{1}{2}\sin 2x=\sin x \cdot \cos x[/tex3] é mesma coisa que [tex3]\sin2x=2\sin x \cdot \cos x[/tex3].

Abraço.

[Cientista]

Sim Mamba, o que quero saber é como surgi o 1 na parte 1+4cos²x a parte da substituiçao e do resto da resoluçao percebi só que nao posso dar progresso a outra parte da resoluçao sem ter percebido de onde surgi uma parte, por isso queria saber de onde essa parte, pois se reparares bem uma forma de apanhar o minimo é derrivando(igualando a zero), mas essa matéria ainda nao dei, sei por acaso :p

[theblackmamba]

O número [tex3]1[/tex3] surgiu da substituição do [tex3]\sin^2x[/tex3] por [tex3]1-\cos^2x[/tex3] depois somado com [tex3]5\cos^2x[/tex3] lhe dará [tex3]1-\cos^2x+5\cos^2x=1+4\cos^2x[/tex3].

Abraço.

[Cientista]

ha sim, me desculpa a pergunta, estava vendo o produto de ambos e nao a soma. Obrigado!