Olimpíadas ⇒ (India Olympiad - 2009) Geometria Plana Tópico resolvido

[Birnebaum]

Seja ABC um triângulo no qual AB=AC, e seja I o seu incentro. Sabendo que BC=AB+AI , então BÂC vale;

a) 30º
b) 45º
c) 60º
d) 90º

Resposta

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d

Bb

[manerinhu]

rapaz...
certamente essa questão pode ser facilmente resolvida por alguma construção mágica, tirada da cartola, mas como sou horrivel em construir, resolvi me aprofundar em trigonometria

herp.png (12.58 KiB) Exibido 1552 vezes

AD = a, AB = AC = b =>BC = a+b
ABC = ACB = beta
BAD = DAC = alfa
DC é a bissetriz de beta => DCA = beta/2

no triangulo ADC, pela lei dos senos
[tex3]\frac{a}{sin B/2} = \frac{b}{sin \alpha + B/2} (I)[/tex3]
no triangulo ABC, pela lei dos senos
[tex3]\frac{a+b}{sin 2a} = \frac{b}{sin B} (II)[/tex3]

mas a soma dos angulos internos de um triangulo é 180, o que significa que [tex3]alfa + beta = 90[/tex3]

de II,
[tex3]\frac{a+b}{sin 2a} = \frac{b}{sin 90-a} (II)[/tex3]
[tex3]\frac{a+b}{2sinacosa} = \frac{b}{cos a} (II)[/tex3]
[tex3]sin a = \frac{a+b}{2b} (III)[/tex3]

até aqui, você já pensou: vish, nunca que vai dar certo, mas espere, jovem padawan

pela lei das proporções em I, podemos escrever
[tex3]\frac{a+b}{sin (B/2) + sin (a + B/2)} = \frac{b}{sin(a + B/2)}(IV)[/tex3]

isolando [tex3]\frac{a+b}{b}[/tex3] em [tex3]IV[/tex3] e aplicando em [tex3]III[/tex3], obtemos
[tex3]sin a = \frac{sin(45 - a/2) + sin(45 + a/2)}{2sin(a/2 + 45}[/tex3] (lembre-se que [tex3]a + B = 90[/tex3]
desenvolvendo
[tex3]sin a = \frac{1}{2}*\frac{2sin45cos(a/2)}{sin (a/2) cos 45 + sin 45 cos (a/2)}[/tex3]

calma, vai dar tudo certo!
[tex3]sin a = \frac{cos (a/2)}{sin (a/2) + cos(a/2)}[/tex3]
[tex3]2sin (a/2) cos (a/2) = \frac{cos (a/2)}{sin (a/2) + cos(a/2)}[/tex3]
[tex3]2sin^2 (a/2) + 2sin(a/2)cos(a/2) = 1[/tex3]
lembrando que [tex3]1-2sin^2(a/2) = cos a[/tex3]
chegamos à incrivel expressão de
[tex3]sin a = cos a[/tex3], o que acontece quando a = 45 ou a = 135, mas certamente a = 45
o enunciado pede [tex3]2a = 90[/tex3]

[Birnebaum]

Bá tchê você foi fundo. Muito bem trabalhada a resol . Obrigado

Vamos agd pra ver se aparece alguma sugestão de resolução por geometria euclidiana. abraço

Bb.

[Aron]

Por geometria euclidiana

Triângulo.png (7.74 KiB) Exibido 1494 vezes

Traçando uma linha [tex3]\overline {ID}[/tex3] para se obter [tex3]\overline {BD}=x[/tex3] e [tex3]\overline {DC}=y[/tex3]

é facil ver que [tex3]\Delta ABI \equiv \Delta IBD[/tex3] no caso de congruência LAL, logo [tex3]\overline {ID}=y[/tex3]

analizando novamente a figura vemos que [tex3]\Delta BID \equiv \Delta AIC[/tex3] no caso LLL, conclui-se que [tex3]2b=a[/tex3]

Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180° [tex3]4b+2a=180[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
2b+a=90 \\
2b=a
\end{cases}\Leftrightarrow \boxed{2a=90}[/tex3]

[tex3]\angle BAC=90^{\circ}[/tex3]

Espero ter ajudado, abraços...

[Birnebaum]

Valeu! Aron. 10 , ótima resolução.
Bb