Ensino Superior ⇒ Perpendicularidade - Curva - Esfera Tópico resolvido

[raimundojr]

(Livro: Cálculo - Volume 2 - 7ª Edição - Q. 26 - Pág.: 742) Se uma curva [tex3]\alpha :A\subset \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^{3}[/tex3] tem a propriedade de o vetor posição [tex3]\alpha(t)[/tex3] estar sempre perpendicular ao vetor tangente [tex3]\alpha '(t)[/tex3], mostre que essa curva está contida em uma esfera de centro na origem.

Como faço isso?

[jedi]

vamos dizer que

[tex3]\alpha(t)=(x(t),y(t),z(t))[/tex3]

[tex3]\frac{d\alpha(t)}{dt}=\left(\frac{x(t)}{dt},\frac{y(t)}{dt},\frac{z(t)}{dt}\right)[/tex3]

como os dois são sempre perpendiculares então seu produto escalar é igual a 0

[tex3](x(t),y(t),z(t)).\left(\frac{x(t)}{dt},\frac{y(t)}{dt},\frac{z(t)}{dt}\right)=0[/tex3]

[tex3]x(t)\frac{x(t)}{dt}+y(t)\frac{y(t)}{dt}+z(t)\frac{z(t)}{dt}=0[/tex3]

[tex3]\frac{d\left(\frac{x^2(t)}{2}\right)}{dt}+\frac{d\left(\frac{y^2(t)}{2}\right)}{dt}+\frac{d\left(\frac{z^2(t)}{2}\right)}{dt}=0[/tex3]

[tex3]\frac{d\left(\frac{x^2(t)+y^2(t)+z^2(t)}{2}\right)}{dt}=0[/tex3]

integrando com relação a t

[tex3]\frac{x^2(t)+y^2(t)+z^2(t)}{2}=c[/tex3]

[tex3]x^2(t)+y^2(t)+z^2(t)=2c[/tex3]

sendo c uma constante temos que isso se trata de uma equação de uma esfera
portanto [tex3]\alpha(t)[/tex3] esta contido nesta esfera