Pré-Vestibular ⇒ (FGV - 1997) Geometria Analítica: Reta

[Natan]

No plano cartesiano, os vértices de um triângulo são [tex3]A(5, \,2); \,B(1, \,3) \text{ e } C(8,\, -4).[/tex3]

a) Obtenha a medida da altura do triângulo, que passa por [tex3]A.[/tex3]
b) Calcule a área do triângulo [tex3]ABC.[/tex3]

[Karl Weierstrass]

a) Seja [tex3]r[/tex3] a reta suporte do lado [tex3]BC[/tex3].

• [tex3]r:\,y-1=\frac{-4-3}{8-1}(x-3)\Longrightarrow y=-x+4.[/tex3]

Seja [tex3]s[/tex3] a reta suporte da altura relativa ao lado [tex3]BC.[/tex3]

Como [tex3]r\perp s,[/tex3] [tex3]m_s=1,[/tex3] onde [tex3]m_s[/tex3] é o coeficiente angular de [tex3]s.[/tex3]

Logo,

• [tex3]s:\, y-2=1\cdot(x-5)\Longrightarrow y=x-3[/tex3]

Seja [tex3]H \in r[/tex3] o pé da altura relativa ao lado [tex3]BC.[/tex3] Temos que [tex3]r\cap s=\{H\}.[/tex3]

Resolvendo o sistema formado pelas equações de [tex3]r[/tex3] e [tex3]s,[/tex3] obtemos [tex3]H\left(\frac{7}{2},\, \frac{1}{2}\right).[/tex3]

• [tex3]d_{AH}=\sqrt{\left(5-\frac{7}{2}\right)^2+\left(2-\frac{1}{2}\right)^2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}.[/tex3]

b) [tex3][ABC]=\frac{1}{2}\cdot \overline{BC}\cdot \overline{AH}=\frac{1}{2}\cdot\frac{3\sqrt{2}}{2}\cdot 7\sqrt{2}=\frac{21}{2}.[/tex3]