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Seja ABC um triângulo. Sejam BE e CF as bissetrizes internas dos ângulos ^B e ^C, respectivamente, com E sobre AC e F sobre AB. Suponha que X é um ponto sobre o segmento CF tal que AX é perpendicular a CF e Y é um ponto sobre o segmento BE, tal que AY é perpendicular a BE. Sendo BC=a , CA=b e AB=c ,então a medida de XY é ?
Obs: Resolução por geometria euclidiana. grato

Bb

Prolongue os segmentos [tex3]\overline{AX}[/tex3] e [tex3]\overline{AY}[/tex3] até encontrarem a reta [tex3]\overleftrightarrow{BC}[/tex3] nos pontos [tex3]X'[/tex3] e [tex3]Y'[/tex3], respectivamente.

[tex3]\overline{BY}[/tex3] é a bissetriz do ângulo [tex3]A\hat{B}Y'[/tex3] e [tex3]\overline{BY}[/tex3] é perpendicular a [tex3]\overline{AY'}[/tex3] e isso implica que [tex3]\overline{AB}\cong \overline{BY'}[/tex3] e [tex3]\overline{AY}\cong \overline{YY'}[/tex3].
Analogamente temos que [tex3]\overline{CX'}\cong \overline{AC}[/tex3] e [tex3]\overline{AX}\cong \overline{XX'}[/tex3] e isso implica [tex3]XY=\frac{X'Y'}{2}[/tex3](base média).

[tex3]X'Y'=CX'+BY'-BC=AC+AB-BC=b+c-a[/tex3]

[tex3]\therefore XY=\frac{b+c-a}{2}[/tex3]

Antes de eu fazer a resolução acima eu estava tentando fazer de outra maneira, mas teve uma coisa que eu não consegui demonstrar. Vou postá-la aqui:
Como você pode ver, fica difícil entender a imagem pois o TutorBrasil não permite anexar imagens grandes, portanto eu vou ampliá-la:
[tex3]O[/tex3] é o centro da circunferência inscrita ao [tex3]\Delta ABC[/tex3] e isso implica que [tex3]AG=AH=p-a=\frac{a+b+c}{2}-a=\frac{a+b-a}{2}[/tex3] (se você não entendeu essa parte me avise).

O quadrilátero [tex3]AXOY[/tex3] é inscritível pois [tex3]m(A\hat{X}O)+m(O\hat{Y}A)=180º[/tex3].
[tex3]G[/tex3] e [tex3]H[/tex3] pertencem a circunferência circunscrita ao quadrilátero [tex3]AXOY[/tex3] pois [tex3]\Delta AXO[/tex3], [tex3]\Delta AHO[/tex3], [tex3]\Delta OYA[/tex3] e [tex3]\Delta OGA[/tex3] tem a hipotesusa [tex3]\overline{AO}[/tex3] em comum.

Eu dei uma travada aqui.
Pelo Geogebra eu verifiquei que [tex3]AG=AH=XY[/tex3], mas eu não consegui demostrar isso. Tentei usar arco capaz para achar triângulos congruentes, mas não consegui achar nenhum.

Obrigado rflbboy - muito boa a resolução a 1a resolução.
Entendi na 2a resolução os 2 primeiros parágrafos. Estou com o tempo curto, depois vou olhar com mais carinho.vlw!
Bb