IME / ITA ⇒ Geometria Analítica: Circunferência e Reta Tópico resolvido

[Karl Weierstrass]

São dadas a circunferência [tex3]x^2+y^2-14x+10y+65=0[/tex3] e a família de retas [tex3]x+y+k=0[/tex3], onde [tex3]k[/tex3] é um parâmetro. Se duas retas da família tangenciam a circunferência, respectivamente em [tex3]M[/tex3] e [tex3]N[/tex3], determine [tex3]\overline{MN}[/tex3].











[tex3]\,[/tex3]

[Chris]

O centro da circunferência é C(7;-5) e raio é 3. Agora, se duas retas paralelas (como as descritas no enunciado) tangenciam uma circunferência, a distância entre os pontos de tangencia não deveria ser o diâmentro? Neste caso seria 6.

Se não for isso, podemos achar as retas da seguinte maneira:

Se uma reta tangencia a circunferência, temos que a distância da mesma ao centro deve ser igual ao raio. Portanto, usando a fórmula da distância de ponto a reta temos:

[tex3]3 = \frac{\mid 7-5+k \mid}{\sqrt{1^2 + 1^2}}[/tex3]

[tex3]\Rightarrow 3\sqrt{2} = \mid 2 + k \mid \Rightarrow k = 3\sqrt{2} - 2[/tex3] ou [tex3]k = - 3\sqrt{2} - 2[/tex3]

Agora, fazendo um sistema entre a circunferência e as retas achamos N e M.

[Karl Weierstrass]

Agora, se duas retas paralelas tangenciam uma circunferência, a distância entre os pontos de tangencia não deveria ser o diâmetro? Neste caso seria 6.

Correto.