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O Valor de [tex3]\frac{(3 + 2\sqrt{2})^{2008}}{(5\sqrt{2} + 7)^{1338}}[/tex3] + 3 - 2 [tex3]\sqrt{2}[/tex3] é um número:

a) múltiplo de onze.
b) múltiplo de sete.
c) múltiplo de cinco.
d) múltiplo de três.
e) primo.



Grande abraço galera!

Amigo, vou pedir que coloque apenas uma questão por tópico. Tendo dito isto, irei responder apenas a primeira questão.

Devemos lembrar de duas coisas para resolver essa questão:

[tex3]\circ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \\
\circ (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3[/tex3]

Com isso em mente, podemos fatorar a expressão.Veja:

[tex3]\frac{(3 + 2\sqrt{2})^{2008}}{(5\sqrt{2} + 7)^{1338}} + 3 - 2\sqrt2 \therefore \frac{(1 + 2 \cdot \sqrt2 + 2)^{2008}}{(3\sqrt2 + 2\sqrt2 + 7)^{1338}} + 3 - 2\sqrt2 \therefore \\\\ \frac{((1+\sqrt2)^2)^{2008}}{( 3 \cdot 1^2 \cdot \sqrt2 + (\sqrt2)^3 + 1^3 + 3 \cdot 1 \cdot \sqrt2 ^2 )^{1338}} + 3 - 2\sqrt2 \therefore \\\\ \frac{(1+\sqrt2)^{4016}}{((1+\sqrt2)^3)^{1338}} + 3 - 2\sqrt2 \therefore \\\\ \frac{(1+\sqrt2)^{4016}}{(1+\sqrt2)^{4014}} + 3 - 2\sqrt2 \therefore (1+\sqrt2)^2 + 3 - 2\sqrt2 \therefore 1 + 2\sqrt2 + 2 + 3 - 2\sqrt2 \therefore \boxed{\boxed{6}}[/tex3]

Att.,
Pedro

¹Para a sua outra questão, basta observar que o último algarismo das potências sempre obedece uma ordem

Pedro, eu não entendi pra 'onde foi' o 7 do divisor (5 [tex3]\sqrt{2}[/tex3] + 7). Logo na segunda passagem, ele 'some'.
Abraço!

Perdão. Foi um erro se digitação. Mas o que acontece na verdade é que quando vamos "juntando" os termos para preparar a fatoração, especificamente nessa parte [tex3]a^3 + 3ab^2[/tex3], temos que o 7 é igual a soma desses termos.

Espero que você tenha entendido.

Abraços

Sim!! Agora entendi!!
[tex3](a+b)^{3}[/tex3], onde a=1 e b=[tex3]\sqrt{2}[/tex3] e 7, fatorado, é igual a [tex3]1^{3}[/tex3] + 3.1.[tex3](\sqrt{2})^{2}[/tex3]

Muito obrigado!
Abraço

Exato,

Abraços