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Calcular a expressão do [tex3]sen2x[/tex3] em função de [tex3]tgx[/tex3] e aplicá-la à resolução da equação [tex3]sen2x=cotg^2x[/tex3]:

cheguei aqui:

[tex3]sen2x=2.senx.cosx=2.senx.cosx.\frac{cosx}{cosx}=2.tgx.cos^2x=2.tgx.\frac{1}{sec^2x}=[/tex3]
[tex3]=2.\frac{tgx}{1+tg^2x}\Rightarrow sen2x=2.\frac{tgx}{1+tg^2x}[/tex3], portanto:

[tex3]2.\frac{tgx}{1+tg^2x}=cotg^2\Rightarrow2.\frac{tgx}{1+tg^2x}=\frac{1}{tg^2x}[/tex3], daqui em diante não consegui mais desenvolver nada que chegasse ao resultado.

[tex3]\sin 2x = 2 \cdot \sin x \cdot \frac {\cos^2 x}{\cos x} = 2 \cdot \tan x \cdot \frac{1}{\sec^2 x} = \frac {2 \cdot \tan x}{1+ \tan^2x} \\ \\ \\ \frac {2 \cdot \tan x}{1+ \tan^2x} = \frac {1}{\tan^2 x} \Rightarrow 2 \tan ^3 x= 1+ \tan ^2x[/tex3]

Fazendo [tex3]y = \tan x[/tex3] e verificando que 1 é raiz, então por Briot Rufini :

[tex3]2y^3 -y^2 -1 = (y-1) (2y^2 +y +1) \\ \\ y=1[/tex3]

As outras soluções são imaginárias. Voltando a equação:


[tex3]y = \tan x = 1 \,\,\, \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + k\pi[/tex3]