Ensino Superior ⇒ Limite - Seno - Função Duas Variáveis

[raimundojr]

(Livro: Cálculo - Autor: James Stewart - Volume 2 - 7ª Edição - Q. 16 - Pág.: 810)
Determine o limite, se existir, ou mostre que não existe.
[tex3]\lim_{(x, y)\rightarrow (0, 0)}\frac{x^2sen^2y}{x^2+2y^2}[/tex3]

Resposta para o cálculo do limite: O limite não existe.

Como faço para provar esse limite?

[jedi]

se fizermos o limite por dois caminhos diferentes e os resultados forem diferentes então o limite não existe
tomando o caminho x=y

[tex3]\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2\sin^2y}{x^2+2y^2}[/tex3]

[tex3]\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2\sin^2x}{x^2+2x^2}[/tex3]

[tex3]\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin^2x}{3}=0[/tex3]

agora pelo caminho [tex3]x=\sqrt{y^4-2y^2}[/tex3]

[tex3]\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sqrt{y^4-2y^2}^2\sin^2y}{\sqrt{y^4-2y^2}^2+2y^2}[/tex3]


[tex3]\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{(y^4-2y^2)\sin^2y}{y^4}[/tex3]

[tex3]\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{(y^2-2)\sin^2y}{y^2}[/tex3]

[tex3]\lim_{(x,y)\to(0,0)}(y^2-2).\frac{\sin y}{y}.\frac{\sin y}{y}=-2.1.1=-2[/tex3]

portanto o limite não existe

[raimundojr]

O fato de ter escolhido [tex3]x=\sqrt{y^4-2y^2}[/tex3] foi por "Tentativa e Erro, Tentativa e Acerto"? Ou você pode me dar alguma dica quando forem limites assim, em termos de qual curva "aproximar" ou "substituição realizar"?

[jedi]

Então, foi por tentativa e erro mesmo, infelizmente não existe uma regra geral para encontrar dois caminhos para escolher
neste caso por exemplo, encontrar um caminho que desse limite igual a 0 foi simples, então a dificuldade foi encontrar um caminho para que o limite fosse diferente de zero, oque eu pensei neste caso foi utilizar o limite fundamental de [tex3]\frac{\sin x}{x}[/tex3] para conseguir isto.