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Estou perdido, alguem poderia me ajudar?

O exercício é o seguinte:

"Um fabricante de caixas de papelão deseja fazê-las sem tampa, de pedaços quadrados com 12 cm de lado, cortando quadrados iguais dos quatro cantos e virando para cima os lados. Ache o comprimento do lado do quadrado a ser cortado para obter uma caixa com o maior volume possível."

Solução:

V(x) = x . (12 - 2x)^2 ---> (por quê?)
V'(x) = ( 12 - 2x)^2 + 2( 12 - 2x) . (-2) . x ---> (até ai tudo bem)
V'(x) = ( 12 - 2x) ( 12 - 2x - 4x) ----------------> (ai eu me perdi: não entendi nada)

Obrigado por quem puder ajudar.

Oi otalumo !

Repare no desenho acima.

Se o quadrado de cartão para fazer a caixa tem [tex3]12cm[/tex3] de lado, e tem de se cortar quadrados iguais nos cantos, a que vamos chamar de [tex3]\,x\,[/tex3], então cada lado vai ficar com [tex3]\,12-2x\,[/tex3].
Vamos estabelecer um domínio para a função.
Repare que [tex3]\,x\,[/tex3] é o valor de uma medida. E [tex3]\,12-2x\,[/tex3] também. Logo, são valores positivos.
Então: [tex3]\;x>0\;[/tex3]
e [tex3]\;\;\;\;\;\;\;12-2x>0[/tex3]
Resolvendo a inequação, obtemos a seguinte condição: [tex3]0<x<6[/tex3].
Como o que se pretende é o volume da caixa, e este é dado pela área da base vezes a altura. Então, podemos enunciar:

[tex3]V=(12-2x)^2.x[/tex3]
[tex3]V=(4x^2-48x+144).x\;\rightarrow\;V=4x^3-48x^2+144x[/tex3]

Derivando: [tex3]\;V^,=12x^2-96x+144[/tex3]

Simplificando
e resolvendo: [tex3]V^,=x^2-8x+12=0[/tex3]

Raízes: [tex3]\,x^,=2\,[/tex3] ou [tex3]\,x^{,,}=6[/tex3]

Pelo domínio estabelecido inicialmente [tex3]0<x<6[/tex3], sabemos que [tex3]x\,\in\,]0,6[\,[/tex3]. Então, pelas raízes encontradas, concluimos que apenas uma, [tex3]\,x^,=2[/tex3], pertence ao dito intervalo.

Isso quer dizer que, para que a caixa tenha volume máximo, o comprimento ou altura, (dado que é um quadrado) do quadrado a ser cortado, é de [tex3]\,2cm[/tex3].

O Volume da caixa será, [tex3]b^2\times h\,[/tex3].Onde, [tex3]\,b\rightarrow\,12-2=10cm^2\;[/tex3] e [tex3]\;\,h=2cm[/tex3].

Donde [tex3]V=10^2\times2\;\rightarrow\;V=100cm^2\,\times\,2cm\,=\,\boxed{200cm^3}[/tex3].

Quanto à expresão que você refere para achar a derivada, de facto, também não conheço. Mas se a desenvolver, verá que vai dar exatamente a mesma que eu encontrei. [tex3]\;V^,=12x^2-96x+144[/tex3].

Como se costuma dizer: __ Vivendo e aprendendo.

Espero que o tenha esclarecido.

Abraço !

Obrigado.
O prof. ensinou de uma maneira mto complicada, assim ficou bem mais facil.