IME / ITA ⇒ (Colégio Naval - 2007) Conjuntos Numéricos Tópico resolvido

[JOÃO ANTÔNIO VIEIRA]

Os conjuntos dos números naturais, inteiros e racionais foram denominados [tex3]A, B[/tex3] e [tex3]C,[/tex3] não necessariamente nessa ordem. Em um grupo de [tex3]19[/tex3] números reais, sabe-se que [tex3]4[/tex3] são irracionais, [tex3]7[/tex3] pertencem a [tex3]C[/tex3] e [tex3]10[/tex3] pertencem a [tex3]A.[/tex3] Quantos desses números pertencem, exclusivamente, ao conjunto [tex3]B?[/tex3]

a) [tex3]3[/tex3]
b) [tex3]5[/tex3]
c) [tex3]6[/tex3]
d) [tex3]7[/tex3]
e) [tex3]8[/tex3]

[Chris]

Para resolver esse exercício, você deve primeiramente lembrar que [tex3]\mathbb{Q} \supset \mathbb{Z} \supset \mathbb{N}[/tex3]. Se temos [tex3]4[/tex3] números irracionais e [tex3]19[/tex3] ao total, como irracionais e racionais são disjuntos, temos que há [tex3]15[/tex3] racionais nesse conjunto. Portanto os conjuntos [tex3]A[/tex3] e [tex3]C[/tex3] não são os racionais, por terem menos que [tex3]15[/tex3] números. Mas como [tex3]\mathbb{Z} \supset \mathbb{N}[/tex3], temos que [tex3]\mathbb{Z}[/tex3] deve ter mais números que [tex3]\mathbb{N}.[/tex3] Portanto [tex3]A[/tex3] é [tex3]\mathbb{Z}[/tex3] e [tex3]C[/tex3] é [tex3]\mathbb{N}.[/tex3] Sendo assim, o conjunto [tex3]B[/tex3] é os racionais. Como há [tex3]15[/tex3] racionais e [tex3]10[/tex3] inteiros, há cinco números exclusivamente racionais.

Alternativa (b)