IME / ITA ⇒ Inversa de uma Matriz 3x3 Tópico resolvido

[demetrius]

Qual a condição para que a matriz [tex3]\left(\begin{array}{ccc} 1 & a & b \\ -a & 1 & c \\ -b & -c & 1 \end{array}\right)[/tex3] seja inversivel? Achar a inversa.

[Karl Weierstrass]

Qual a condição para que a matriz [tex3]\left(\begin{array}{ccc} 1 & a & b \\ -a & 1 & c \\ -b & -c & 1 \end{array}\right)[/tex3] seja inversível? Achar a inversa.

[tex3]A = \left(\begin{array}{rrr} 1 & a & b \\ -a & 1 & c \\ -b & -c & 1 \end{array}\right)[/tex3] é inversível se, e somente se, [tex3]\det A\not=0[/tex3].


Logo,

[tex3]1-abc+abc+b^2+c^2+a^2\not=0\Longrightarrow a^2+b^2+c^2\not=-1.[/tex3] Que é satisfeita para quaisquer [tex3]a,b,c[/tex3] reais (a propósito, [tex3]a, b[/tex3] e [tex3]c[/tex3] são reais?)

Seja a matriz em bloco:

[tex3]\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,M=\left(\begin{array}{rrrrrr} 1 & a && b &|&1&&0&&0\\ -a & 1 && c&|&0&&1&&0 \\ -b & -c && 1&|&0&&0&&1 \end{array}\right)[/tex3]

Aplicando as operações elementares sobre a matriz [tex3]M[/tex3], e muitos cálculos depois, chegamos a:

[tex3]\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,A^{-1}= \left(\begin{array}{rrr} \frac{c^2+1}{a^2+b^2+c^2+1}& -\frac{a+bc}{a^2+b^2+c^2+1} & \frac{ac-b}{a^2+b^2+c^2+1} \\
\frac{a-bc}{a^2+b^2+c^2+1}&\frac{b^2+1}{a^2+b^2+c^2+1} &-\frac{ab+c}{a^2+b^2+c^2+1} \\
\frac{ac+b}{a^2+b^2+c^2+1} &-\frac{ab-c}{a^2+b^2+c^2+1} &\frac{a^2+1}{a^2+b^2+c^2+1} \end{array}\right)[/tex3].

Se a resposta estiver correta posso detalhar um pouco mais a solução.

Essa questão ficaria melhor no fórum IME/ITA.

[demetrius]

Eu não tenho a resposta infelizmente, peguei este exercicio em um livro de matriz, se você puder detalhar mais, principalmente como achou a inversa, eu ficaria muito grato.
Apropósito abrigado pela resposta, já consegui tirar varias dúvidas com ela.

[Karl Weierstrass]

O importante não é o resultado, e sim o processo.

Seja [tex3]A[/tex3] uma matriz quadrada de ordem [tex3]n[/tex3].

O primeiro passo da solução é formar a matriz em bloco [tex3]M=(A|I)[/tex3], onde [tex3]A[/tex3] é matriz que queremos determinar a inversa e [tex3]I[/tex3] é a matriz identidade de mesma ordem que [tex3]A[/tex3].

Quais são as operações elementares permitidas?

i) permutação de duas linhas quaisquer;
ii) multiplicação de uma linha qualquer por um número real diferente de zero;
iii) substituição de uma linha qualquer pela soma desta com uma outra linha previamente multiplicada por um número real diferente de zero;

O que devemos fazer para obter a inversa?

Aplicamos linha por linha na matriz [tex3]M[/tex3] as operações acima até transformarmos a matriz [tex3]A[/tex3] na matriz identidade. Quando este objetivo for alcançado, a matriz [tex3]I[/tex3] terá se transformado miraculosamente na matriz inversa de [tex3]A[/tex3].

Um exemplo de aplicação das operações elementares pode ser encontrado aqui (1ª solução).

Para fixar idéias, proceda da seguinte maneira:

Como o elemento [tex3]a_{11}[/tex3] da matriz [tex3]M[/tex3] é [tex3]1[/tex3], não precisamos fazer nada, pois o elemento correspondente [tex3]a_{14}[/tex3] também é [tex3]1[/tex3]. E agora? (Olhe sempre para a matriz [tex3]I[/tex3]).

Temos que transformar [tex3]a_{21}[/tex3] e [tex3]a_{31}[/tex3] em zeros, pois os elementos correspondentes em [tex3]I[/tex3] são iguais a zero.

Vamos utilizar a operação elementar (iii). Qual é a pergunta mágica? O que devemos multiplicar por [tex3]1[/tex3] (elemento [tex3]a_{11}[/tex3]) para obtermos o simétrico de [tex3]a_{21}=-a[/tex3]? Ora, qual é o simétrico de [tex3]\text{-}a[/tex3]? [tex3]a[/tex3]! Multipliquemos então todos os elementos da [tex3]1[/tex3] ª linha de [tex3]M[/tex3] por [tex3]a[/tex3] e somemos os resultados com os respectivos elementos da [tex3]2[/tex3] ª linha de [tex3]M[/tex3].

Note que a [tex3]1[/tex3] ª linha de [tex3]M[/tex3] não será modificada, conforme o que diz a operação (iii).

Após esse passo, a [tex3]2[/tex3] ª linha de [tex3]M[/tex3] ficará assim:

[tex3]\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\begin{array}{ccccccc}0&&&a^2+1&&&ab+c&&&|&&&a&&&1&&&0\end{array}[/tex3]

Se você entendeu até aqui, parabéns! (rapadura é doce mas não é mole não)

Agora fazemos o mesmo processo para transformar o elemento [tex3]a_{31}=-b[/tex3] em zero. Qual é o simétrico de [tex3]\text{-}b[/tex3]?[tex3]b![/tex3] Multipliquemos a [tex3]1[/tex3] ª linha da matriz [tex3]M[/tex3] por [tex3]b[/tex3] e somemos com os respectivos elementos da [tex3]3[/tex3] ª linha para encontrar:

[tex3]\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\begin{array}{ccccccc}0&&&ab-c&&&b^2+1&&&|&&&b&&&0&&&1\end{array}[/tex3]

Resumindo, o processo consiste em tornar o elemento [tex3]a_{11}=1[/tex3] ( chamado de pivô) e zerar todos os elementos da [tex3]1[/tex3] ª coluna (no caso [tex3]a_{21}[/tex3] e [tex3]a_{31}[/tex3]). O próximo passo é encontrar o pivô da [tex3]2[/tex3] ª linha [tex3](a_{22})[/tex3]. A seguir zeramos todos os elementos restantes da 2ª coluna (exceto o pivô!). Prosseguimos dessa forma, sempre calculando o pivô da coluna seguinte e zerando os outros elementos da coluna.

Para ilustar mais uma operação, após os dois passos anteriores, a matriz [tex3]M[/tex3] ficará assim:

[tex3]\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,M'=\left(\begin{array}{ccccccc}
1 && a && b &|&1&&0&&0\\
0 && a^2+1 && ab+c&|&a&&1&&0 \\
0 && ab-c && b^2+1&|&b&&0&&1 \end{array}\right)[/tex3]

Como o pivô da 2ª coluna é [tex3]a^2+1[/tex3], temos que transformá-lo em [tex3]1[/tex3]. Por que expressão devemos multiplicar [tex3]a^2+1[/tex3] para obter [tex3]1[/tex3]? Pelo inverso multiplicativo (ou recíproco), isto é, [tex3]\frac{1}{a^2+1}[/tex3] (operação (ii)!).

Assim, obtemos

[tex3]\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,M''=\left(\begin{array}{ccccccc} 1 && a && b &|&1&&0&&0\\
0 && 1 && \frac{ab+c}{a^2+1}&|&\frac{a}{a^2+1}&&\frac{1}{a^2+1}&&0 \\
0 && ab-c && b^2+1&|&b&&0&&1 \end{array}\right)[/tex3].

Como você pode notar, para essa matriz em particular, muitos cálculos serão necessários até a resposta. Recomendo que você treine um pouco com matrizes [tex3]2\times 2[/tex3], cujos elementos sejam apenas números, depois passe para matrizes [tex3]3\times 3[/tex3] também numéricas, para tentar terminar a solução. Quem sabe ainda se outro membro do fórum não conclui?

[Karl Weierstrass]

Você disse que extraiu essas questões de um livro. Que livro?

Abraço.

[demetrius]

Obrigado pela resposta, está bem completa e de facil entendimento, fico grato.
Sobre o livro, não é bem um livro e sim uma apostila, do objetivo, só não sei de que ano que é. Pena que o objetivo não fornece as respostas nas apostilas, facilitaria muito minha vida, acho que é pelo motivo do professor resolver em classe.