Pré-Vestibular ⇒ (UESB - 2011.2) Progressão Aritmética Tópico resolvido

[Leocondeuba]

Desculpem-me pelo meu erro, pois eu não sabia da regra sobre as imagens. Por isso, estou postando novamente a questão.
Olá a todos. Por favor, necessito da resolução desta questão, pois eu tentei resolvê-la e não consegui encontrar o raciocínio certo para me conduzir à alternativa correta. Agradeço desde já.

Sabendo-se que [tex3](x_1, x_2, x_3)[/tex3] é uma progressão aritmética de razão [tex3]2[/tex3] e que [tex3]f:\,\,\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/tex3] é uma função quadrática, tal que [tex3]f(x_1) = -2,\,\, f(x_2) = =14,\,\,f(x_3) = -34[/tex3], é correto afirmar que o coeficiente do termo de 2º grau da função [tex3]f[/tex3] é igual a

01) 2
02) 1
03) 0,5
04) -1
05) -2

[PedroCunha]

Veja:

Se [tex3]f(x)[/tex3] é uma função quadrática, ela é da forma [tex3]ax^2 + bx + c[/tex3]. Do enunciado temos:

[tex3]\begin{cases}

f(x_1) = -2 \therefore a \cdot (x)^2 + b \cdot (x) + c = -2 \\
f(x_2) = -14 \therefore a \cdot (x_2)^2 + b \cdot (x_2) + c = -14 \\
f(x_3) = -34 \therefore a \cdot(x_3)^2 + b \cdot (x_3) + c = -34

\end{cases}[/tex3]

Porém, como são termos de uma progressão aritmética, temos a seguinte relação:

[tex3]x_2 = x + 2 \\
x_3 = x + 4[/tex3]

Substituindo isso no sistema que montamos, temos:

[tex3]\begin{cases}

a \cdot (x)^2 + b \cdot (x) + c = -2 \dots I\\
a \cdot (x + 2)^2 + b \cdot (x + 2) + c = -14 \dots II\\
a \cdot(x + 4)^2 + b \cdot (x + 4) + c = -34 \dots III

\end{cases}

\\\\

II \rightarrow a \cdot (x + 2)^2 + b \cdot (x + 2) + c = -14 \therefore a \cdot (x^2 + 4x + 4) + bx + 2b + c = -14 \therefore \\\\ \boxed{ax^2 + 4ax + 4a + bx + 2b + c = -14} \\\\

III \rightarrow a \cdot (x+4)^2 + b \cdot (x+4) + c = -34 \therefore a \cdot (x^2 + 8x + 16) + bx + 4b + c = -34 \therefore \\\\ \boxed{ax^2 + 8ax + 16a + bx + 4b + c = -34}

\\\\

I - II: ax^2 + bx + c - ax^2 -4ax - 4a - bx - 2b - c = -2 - (-14) \therefore \\\\
-4ax - 4a - 2b = 12 \therefore \boxed{2ax +2a + b = -6 \dots IV}

\\\\

I - III: ax^2 +bx + c - ax^2 - 8ax - 16a - bx - 4b - c = -2 - (-34) \therefore \\\ -8ax - 16a -4b = 32 \therefore \boxed{2ax + 4a +b = -8 \dots V}

\\\\

-IV + V = -2ax -2a - b +2ax + 4a + b = -(-6) - 8 \therefore \\\\ 2a = -2 \therefore \boxed{a = -1 \dots VI}[/tex3]

Logo, o coeficiente do termo do 2° grau é [tex3]\boxed{\boxed{-1}}[/tex3]

Att.,
Pedro

[ttbr96]

PedroCunha

notei que se multiplicamos a equação II por -2, e fazermos a adição a maioria dos fatores se anulam. Assim, diminuimos os passos de cálculo.

[tex3]ax^2 + 0ax + bx + 0a + 0b + c = -2[/tex3]
[tex3]-2ax^2 - 8ax - 2bx - 8a - 4b - 2c = 28[/tex3]
[tex3]ax^2 + 8ax + bx + 16a + 4b + c = -34[/tex3]

[tex3]8a = -8[/tex3]
[tex3]a = -1[/tex3]

[PedroCunha]

Verdade!

Ótima observação, .

[Leocondeuba]

Obrigado a todos.