Pré-Vestibular ⇒ (UESB - 2011.2) Números Complexos

[Leocondeuba]

Olá a todos. Devo admitir que quase sempre não consigo resolver questões envolvendo o plano de Argand-Gauss desta maneira. Portanto, peço ajuda, pois realmente preciso da resolução para conseguir ter uma base de raciocínio para resolver outras questões parecidas. Obrigado a todos.

Sabe-se que em um quadrilátero convexo qualquer, os pontos médios de seus lados são os vértices de um paralelogramo. Considere o quadrilátero convexo ABCD, com vértices nos pontos do plano de Argand-Gauss, associados aos números complexos [tex3]z_1= 3 + i,\,\, z_2= -1 + 5i,\,\, z_3= 3 + 5i,\,\,z_4= 5 + 2i[/tex3]. Nessas condições, a área do quadrilátero MNPQ determinado pelos pontos médios dos lados de ABCD, em unidades de área, é igual a

01) [tex3]12[/tex3]
02) [tex3]10[/tex3]
03) [tex3]8[/tex3]
04) [tex3]6[/tex3]
05) [tex3]4[/tex3]

[csmarceloMOD]

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É fácil localizar os vértices do quadrilátero [tex3]ABCD[/tex3] visto que, dado um número complexo [tex3]z=a+bi[/tex3], temos que sua representação no plano Argand-Gauss se dá pelo ponto [tex3]P[/tex3] de coordenadas [tex3](a, b)[/tex3].

A partir daí, também é simples encontrar as coordenadas dos pontos médios [tex3]M[/tex3], [tex3]N[/tex3], [tex3]P[/tex3] e [tex3]Q[/tex3].

[tex3]M=(\frac{X_A+X_B}{2},\frac{Y_A+Y_B}{2})
\\N=(\frac{X_B+X_C}{2},\frac{Y_B+Y_C}{2})
\\P=(\frac{X_C+X_D}{2},\frac{Y_C+Y_D}{2})
\\Q=(\frac{X_D+X_A}{2},\frac{Y_D+Y_A}{2})[/tex3]

Para encontrar a área do paralelogramo [tex3]MNPQ[/tex3] temos que descobrir as medidas da base e altura relativa.

Encontramos a medida da base [tex3]MQ[/tex3] através do ponto [tex3]E(X_M,Y_Q)[/tex3] e da aplicação do Teorema de Pitágoras.

[tex3]MQ^{2}=ME^{2}+EQ^{2}\rightarrow MQ=\frac{15\sqrt{5}}{10}[/tex3]

Repare, agora, que o ponto [tex3]F[/tex3] corresponde à intersecção das retas [tex3]t[/tex3] e [tex3]r[/tex3].

A equação da reta [tex3]t[/tex3] é simples, pois já temos as coordenadas dos pontos [tex3]M[/tex3] e [tex3]Q[/tex3] que pertencem a ela.

[tex3]\begin{cases}
a+b=3\rightarrow-a-b=-3\\
4a+b=\frac{3}{2}
\end{cases}[/tex3]

Do sistema acima temos que [tex3]a=-\frac{1}{2}[/tex3] e [tex3]b=\frac{7}{2}[/tex3]. Portanto, a equação reduzida da reta [tex3]t[/tex3] é [tex3]y=-\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}[/tex3].

Para a reta [tex3]r[/tex3] nós temos apenas um ponto, porém sabemos que ela é perpendicular à reta [tex3]t[/tex3] e, portanto, o coeficiente angular de uma é o oposto do inverso da outra. Se o coeficiente angular da reta [tex3]t[/tex3] é igual a [tex3]-\frac{1}{2}[/tex3], então o coeficiente da reta [tex3]r[/tex3] é igual a 2.

[tex3]\frac{7}{2}=2*4+b\rightarrow b=-\frac{9}{2}[/tex3]

Portanto, a equação reduzida da reta [tex3]r[/tex3] é [tex3]y=2x-\frac{9}{2}[/tex3].

Tendo as equações das duas retas, descobrimos as coordenadas de [tex3]F[/tex3] igualando-as.

[tex3]-\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}=2x-\frac{9}{2}\rightarrow F=(\frac{16}{5}, \frac{19}{10})[/tex3]

Assim, encontramos a medida da altura [tex3]h[/tex3] através do ponto [tex3]G(X_F,Y_P)[/tex3] e da aplicação do Teorema de Pitágoras.

[tex3]h^{2}=FG^{2}+GP^{2}\rightarrow h=\frac{8\sqrt{5}}{10}[/tex3]

Área do paralelogramo = [tex3]MQ*h=\frac{15\sqrt{5}}{10}*\frac{8\sqrt{5}}{10}=6[/tex3]

Eu não tenho muitos conhecimentos de Geometria Analítica, então pode ser que exista um caminho melhor.