Pré-Vestibular ⇒ (FUVEST - 1999) Sistema de Numeração Decimal

[leozinho]

Um estudante terminou um trabalho que tinha [tex3]n[/tex3] páginas. Para numerar todas essas páginas iniciando com a página [tex3]1,[/tex3] ele escreveu [tex3]270[/tex3] algarismos. Então o valor de [tex3]n[/tex3] é:

a) [tex3]99[/tex3]
b) [tex3]112[/tex3]
c) [tex3]126[/tex3]
d) [tex3]148[/tex3]
e) [tex3]270[/tex3]

Resposta:

---

c

[Auto Excluído (ID:276)]

Das páginas [tex3]1[/tex3] a [tex3]9 = (8 + 1) \cdot 1 = 9 \text{algs}[/tex3]
[tex3]10[/tex3] a [tex3]99 = ( 89 + 1 ) \cdot 2 = 180 \text{algs}[/tex3]
[tex3]100[/tex3] a [tex3]x = ( x - 100 + 1 ) \cdot 3 = 3x - 297[/tex3]

• [tex3]189 + 3x - 297 = 270[/tex3]
  
  [tex3]x = 126[/tex3]

Resposta: [tex3]126[/tex3] páginas

[Karl Weierstrass]

Teorema: Seja [tex3]x[/tex3] um número inteiro positivo com [tex3]n[/tex3] algarismos.
Seja ainda [tex3]Q(x)[/tex3] a quantidade de algarismos necessários para escrever todos os números inteiros de [tex3]0[/tex3] a [tex3]x,[/tex3] inclusive. Vale, então, a seguinte fórmula para [tex3]Q(x):[/tex3]

• [tex3]Q(x)=n(x\,+\,1)\,-\,\frac{10^n\,-\,10}{9}[/tex3]

Como a maioria dos números nas alternativas têm [tex3]3[/tex3] algarismos, façamos [tex3]n=3.[/tex3] Além disso, o teorema fornece a quantidade de dígitos de [tex3]0[/tex3] até [tex3]x,[/tex3] e como queremos de [tex3]1[/tex3] até [tex3]x,[/tex3] a nossa fórmula fica

• [tex3]Q(x)\,=\,n(x\,+\,1)\,-\,\frac{10^n\,-\,10}{9}\,-\,1,[/tex3]

pois devemos excluir o zero da contagem.

Logo,

• [tex3]270\,=\,3(x\,+\,1)\,-\,\frac{10^3\,-\,10}{9}\,-\,1\Longrightarrow x\,=\,126.[/tex3]