IME / ITA ⇒ (ITA - 2000) Análise Combinatória: Permutações Simples Tópico resolvido

[paulo testoniMOD]

Quantos números de seis algarismos distintos podemos formar usando os digitos 1,2,3,4,5 e 6, nos quais o 1 e o 2 nunca ocupam posições adjacentes, mas o 3 e o 4 sempre ocupam posições adjacentes?

a) 144
b) 180
c) 240
d) 288
e) 360

[paulo testoniMOD]

Vamos colocar os números [tex3]3[/tex3] e [tex3]4[/tex3] dentro de um saco [tex3]S[/tex3] para que eles funcionem como se fossem um único número. Dessa forma, temos agora o seguinte conjunto: [tex3]1, 2, S, 5[/tex3] e [tex3]6.[/tex3]

Vamos primeiramente arrumar os números [tex3]5, 6[/tex3] e [tex3]S,[/tex3] depois vamos entremear os números [tex3]1[/tex3] e [tex3]2.[/tex3] O número de modos de arrumar em fila os números [tex3]5, 6[/tex3] e [tex3]S[/tex3] é:
[tex3]P_3 = 3! = 6,[/tex3] lembrando que os números [tex3]3[/tex3] e [tex3]4[/tex3] que estão dentro do saco [tex3]S[/tex3] podem mudar de posição entre si [tex3]2[/tex3] vezes, então:
[tex3]2\cdot P_3 = 2\cdot 6 = 12.[/tex3]

Arrumando os números [tex3]5, 6[/tex3] e [tex3]S,[/tex3] por exemplo na ordem [tex3]5 6 S,[/tex3] devemos colocar os números [tex3]1[/tex3] e [tex3]2[/tex3] nos quatros espaços da figura:

[tex3]\underline{\text{ }} 5 \underline{\text{ }} 6\underline{\text{ }} S \underline{\text{ }}[/tex3]

Como não podemos colocar ambos os números [tex3]1[/tex3] e [tex3]2[/tex3] no mesmo espaço, dois dos espaços serão ocupados cada um com um dos números [tex3]1[/tex3] ou [tex3]2,[/tex3] e dois espaços ficarão vazios. Temos então:
[tex3]A_{4,2} = 12[/tex3] modos de escolher os dois espaços que serão ocupados.

Então a resposta é: [tex3]12 \cdot 12 = 144[/tex3]

[ThaianyMacêdo]

Bom, são duas condições impostas sobre os números que podem ser formados: ambos não devem exibir os algarismos 1 e 2 juntos e ambos têm os algarismos 3 e 4 juntos. Podemos começar a resolução descobrindo quantos são os números que satisfazem a segunda condição (ignorando , portanto, a primeira delas). Vamos lá:

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Uma tática que funciona muito é considerar os dígitos que devem aparecer adjacentes como um único elemento_ nesse caso, podemos até pensar num "bloquinho" com os dois dígitos dentro. Na permutação dos 5 elementos (4 algarismos e o bloquinho), veremos que podem ser formados [tex3]5!= 120 [/tex3] números. Ainda devemos considerar que para cada um dos 120 números, os dígitos dentro do bloquinho podem assumir duas organizações diferentes ( [3,4] e [4,3]), o que também dá a cada um dos 120 números duas configurações diferentes. Ao todo, é possível dizer que existem [tex3]120\times2! = 240[/tex3] números formados pelos algarismos 1,2,3,4,5 e 6, onde os algarismos 3 e 4 aparecem adjacentes.

Dentro dessas 240 possibilidades, devemos reconhecer que há números onde os algarismos 1 e 2 aparecem juntos e há números onde os algarismos 1 e 2 não aparecem juntos. Logo, descobrindo a quantidade de números onde 1 e 2 são também adjacentes, poderemos excluí-la do total.

Da mesma forma, vamos considerar 1 e 2 como um bloquinho que represente um único elemento. Vamos permutar então 4 elementos, tidos como os dois bloquinhos ( [3,4] e [1,2] ) e como os dois algarismos restantes (5 e 6). Obtemos 4!= 24 possibilidades de números. Essa quantidade não inclui as "outras configurações" possíveis para cada um dos 24 números com a permutação dos dígitos dentro de cada bloquinho. Assim, vemos que [tex3]24\times 2!2! = 96[/tex3] números, dentre os 240 há pouco encontrados, têm os dígitos 1 e 2 adjacentes.

Os números que correspondem às duas condições inicialmente impostas pela questão, são no total [tex3]240-96= 144[/tex3].

Resposta: letra (a)