Pré-Vestibular ⇒ (Cefet-MG - 2013) Circunferência Tópico resolvido

[gllauciene]

Na figura seguinte, representou-se um quarto de circunferência de centro O e raio igual a [tex3]\sqrt 2[/tex3].

Screen Shot 2013-11-15 at 14.56.18.png (12.64 KiB) Exibido 6558 vezes

Se a medida do arco AB é 30º, então, a área do triângulo ACD, em unidades de área, é:

a) [tex3]\frac{\sqrt 3}{2}[/tex3]
b) [tex3]\frac{\sqrt 3}{4}[/tex3]
c) [tex3]\sqrt 2[/tex3]
d) [tex3]\sqrt 3[/tex3]
e) [tex3]\sqrt 6[/tex3]

Podem me ajudar com a questão por favor?

[Juniorhw]

Veja o [tex3]\triangle AOD[/tex3]. Por Pitágoras, achamos a hipotenusa: [tex3]\overline{AD}^2=\sqrt{2}^2+\sqrt{2}^2\to \boxed{\overline{AD}=2}[/tex3]. Veja agora o [tex3]\triangle AOB[/tex3]. Pela lei dos cossenos, temos:

[tex3]\overline{AB}^2=\sqrt{2}^2+\sqrt{2}^2-2\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{2}\cdot cos30^\circ\Rightarrow \boxed{\overline{AB}=\sqrt{4-2\sqrt{3}}}[/tex3].

Novamente a lei dos cossenos em [tex3]\triangle BOD[/tex3]: [tex3]\boxed{\overline{BD}=\sqrt{2}}[/tex3].

Pitágoras em [tex3]\triangle BCD[/tex3]: [tex3]\overline{BC}^2+\overline{CD}^2=2[/tex3].

Pitágoras em [tex3]\triangle ACD[/tex3]:

[tex3](\sqrt{4-2\sqrt{3}}+\overline{BC})^2+\overline{CD}^2=2^2\Rightarrow\\\\ 4-2\sqrt{3}+2\overline{BC}\sqrt{4-2\sqrt{3}}+\overline{BC}^2+\overline{CD}^2=4\\\\4-2\sqrt{3}+2\overline{BC}\sqrt{4-2\sqrt{3}}+2=4\\\\\overline{BC}=\frac{2\sqrt{3}-2}{2\sqrt{4-2\sqrt{3}}}\Rightarrow \boxed{\overline{CD}=1}[/tex3]

Então a área procurada é:
[tex3]A_{\triangle ACD}=\frac{\overline{DC}\cdot \overline{AC}}{2}=\frac{1\cdot \sqrt{3}}{2}\Rightarrow \boxed{\boxed{A_{\triangle ACD}=\frac{\sqrt{3}}{2}}}[/tex3]

[gllauciene]

Muito obrigada Juniorhw, ficou bem claro a resposta, só não entendi bem uma coisa,

CD = 1 e AC = √3

Como vc achou as duas respostas?

[Juniorhw]

Para achar CD nós usamos o valor de BC calculado e colocamos em [tex3]BC^2+CD^2=2[/tex3]

[tex3]\left(\frac{2\sqrt{3}-2}{2\sqrt{4-2\sqrt{3}}}\right)^2+CD^2=2\\\\1+CD^2=2\\\\CD=1[/tex3]

Para achar AC usamos Pitágoras em ACD: [tex3]AC^2+1^2=2^2\to AC=\sqrt{3}[/tex3]

Perceba que calculamos AB e BC, poderíamos achar AC somando estes dois, mas por Pitágoras foi mais prático.

abraço!

[gllauciene]

Nossa, muito bom!
Obrigada