Pré-Vestibular ⇒ (Viçosa) Função Tópico resolvido

[Doug]

Para determinar o domínio da função [tex3]f(x)=\sqrt{\frac{x-1}{x-3}}[/tex3] um aluno procedeu da seguinte forma:

[tex3]\frac{x-1}{x-3}\geq 0 \rightarrow x-1 \geq 0[/tex3] e [tex3]x-3 \gt 0 \rightarrow x \geq 1[/tex3] e [tex3]x \gt 3[/tex3] e obteve como resposta para o domínio da função [tex3]f[/tex3], o conjunto

[tex3]\left\{x\in R\mid x \gt 3\right\}[/tex3] Pode afirmar que:

Resposta: O desenvolvimento está errado e a resposta correta é [tex3]x \leq 1[/tex3] ou [tex3]x \gt 3[/tex3]

Minha dúvida é porque o desenvolvimento está errado, para mim parece estar certo, e porque a resposta correta seria [tex3]x \leq 1[/tex3] ou [tex3]x \gt 3[/tex3]. Muito obrigado, abraço t+

[Karl Weierstrass]

Quando [tex3]x[/tex3] varia, [tex3]\frac{x-1}{x-3}[/tex3] assume valores positivos ou negativos (ou zero se, no caso, [tex3]x=1[/tex3]). O que determina o sinal de [tex3]\frac{x-1}{x-3}[/tex3] é o resultado da divisão de [tex3]x-1[/tex3] por [tex3]x-3[/tex3]. Isto é,

[tex3]\hspace{60pt}\frac{x-1}{x-3}\gt 0[/tex3] se, e somente se, [tex3](x-1\gt 0[/tex3] e [tex3]x-3 \gt 0)[/tex3] ou [tex3](x-1\lt 0[/tex3] e [tex3]x-3 \lt 0)[/tex3].

[tex3]\hspace{60pt}\frac{x-1}{x-3}\lt 0[/tex3] se, e somente se, [tex3](x-1\gt 0[/tex3] e [tex3]x-3 \lt 0)[/tex3] ou [tex3](x-1\lt 0[/tex3] e [tex3]x-3 \gt 0)[/tex3].

[tex3]\hspace{60pt}\frac{x-1}{x-3}=0[/tex3] se, e somente se, [tex3]x-1= 0[/tex3].

Não esqueça que para [tex3]x=3[/tex3] você terá uma divisão por zero. E dividir por zero não pode!

Um modo de estudar o sinal do quociente (ou produto) de duas ou mais funções é representar as raízes na reta reta real e substituir valores que pertençam a cada um dos intervalos determinados.

Nesse exercício, as raízes são [tex3]1[/tex3] e [tex3]3[/tex3]. Marque esses pontos na reta (na ordem crescente!). Tome um valor maior do que [tex3]3[/tex3] e verifique o sinal. Vamos escolher [tex3]x=4[/tex3]. Logo, [tex3]\frac{4-1}{4-3}=3\gt0[/tex3]. Coloque o sinal positivo à direita do [tex3]3[/tex3] sobre a reta.

Vamos verificar o sinal entre [tex3]1[/tex3] e [tex3]3[/tex3]. Tome [tex3]x=2[/tex3] para encontrar [tex3]\frac{2-1}{2-3}=-1\lt0[/tex3], e assim sucessivamente ....

Existem outros processos para estudar o sinal de funções como essa. Mas com um pouco de prática, a substituição é bem mais rápida na maioria dos casos.

Outra maneira de visualizar a variação do sinal é traçar o gráfico da função. O Geogebra faz essa tarefa muito bem, basta entrar com a função que ele traça o gráfico.


[tex3]\,[/tex3]

[Doug]

Nossa , Karl Weierstrass você é professor??? Muito boa sua resposta, agora acho que peguei o jeito . Muito obrigado e t+

[Karl Weierstrass]

Faça vários exercícios, cada caso tem uma particularidade.