Pré-Vestibular ⇒ (VUNESP) Perímetro de Triângulo Tópico resolvido

[Lisandra13]

Na figura, AD e BE são bissetrizes dos ângulos A e B, respectivamente.

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Sabendo-se que os segmentos CE, CB e CD medem, respectivamente, [tex3]3\text{cm}[/tex3], [tex3]9\text{cm}[/tex3], [tex3]\frac{45}{11}\text{cm}[/tex3], o perímetro do triângulo ABC, em cm, vale:

(A) 18.
(B) 24.
(C) 22.
(D) 16.
(E) 20.

Resposta

---

(E) 20

Não sei nem por onde começar!

[csmarceloMOD]

Você deve começar pelo Teorema da Bissetriz Interna, que diz:

O teorema da bissetriz interna diz que, dado um triângulo ABC, fazendo-se uma bissetriz interna do ângulo A que determina sobre o segmento BC um ponto D, tem-se que os segmentos BD e CD formados por este ponto são diretamente proporcionais aos lados AB e AC,respectivamente. Em outras palavras, tendo um triângulo ABC, partindo uma bissetriz de A, e sendo D a intersecção entre a bissetriz e o lado BC, tem-se que:
[tex3]\frac{AB}{BD}=\frac{AC}{CD}[/tex3]

Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Bissetriz

Assim, tendo como referência a bissetriz BE, temos que:

[tex3]\frac{AB}{AE}=\frac{BC}{CE}\rightarrow \frac{AB}{AE}=\frac{9}{3}\rightarrow \frac{AB}{AE}=3\rightarrow AB=3AE[/tex3]

Agora, tendo como referência a bissetriz AD, temos que:

[tex3]\frac{AC}{CD}=\frac{AB}{BD}\rightarrow \frac{AE+3}{\frac{45}{11}}=\frac{AB}{\frac{54}{11}}\rightarrow \frac{AE+3}{45}=\frac{AB}{54}\rightarrow 54(AE+3)=45AB[/tex3]

Como [tex3]AB=3AE[/tex3],

[tex3]54(AE+3)=45AB\rightarrow 54(AE+3)=135AE\rightarrow AE=2[/tex3]

[tex3]AB=3AE\text{ e }AE=2\rightarrow AB=6[/tex3].

[tex3]2p = AB+BC+AC = 6+9+(3+2) = 20[/tex3]

[Lisandra13]

Boa Tarde!

Muito Obrigada amigo, eu desconhecia o Teorema da Bissetriz. Vou procurar estudá-lo, ele parece ser bem útil. Obrigada por esclarecer minha dúvida! Tentarei refazer a questão. Abraços!