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Deseja-se construir um recipiente cilíndrico, sem tampa, de volume igual a [tex3]27\,\text{m}^3[/tex3]. Determine o raio do recipiente para que o material usado seja mínimo.






[tex3]\,[/tex3]

Sem tampa significa só um círculo e a área lateral.

Área dada por [tex3]S=\pi r^2+2\pi rh[/tex3].

Como o volume é dado (farei de modo literal primeiro):

[tex3]V=\pi r^2h\Rightarrow h=\frac{V}{\pi r^2}[/tex3]

Vamos derivar a função [tex3]f(r)=\pi r^2+2\cancel{\pi}r\times\frac{V}{\cancel{\pi}r^2}=\pi r^2+2Vr^{-1}[/tex3]

[tex3]f^{'}(r)=2\pi r-2Vr^{-2}[/tex3]

Ponto(s) crítico(s) satisfaz(em) [tex3]\cancel{2}\pi r=\frac{\cancel{2}V}{r^2}\Rightarrow r^3=\frac{V}{\pi}\Rightarrow r=\sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}[/tex3]

Com V=27 fica [tex3]r=\frac{3}{\sqrt[3]{\pi}}[/tex3]

Abraço