IME / ITA ⇒ (Colégio Naval - 1986) Geometria Plana: Triângulos Tópico resolvido

[Wachsmuth]

O número de triângulos de perímetro igual a [tex3]19[/tex3] e uma das alturas igual a [tex3]4,[/tex3] inscritíveis num círculo de raio [tex3]5,[/tex3] cujos lados têm medidas expressas por números inteiros é:

a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5

[cajuADMIN]

Olá Wachsmuth,

Digamos que o triângulo tem lados "a", "b" e "c" e que a altura 4 é relativa ao lado "a" (sem perda de generalidade). Utilizando a fórmula da área do triângulo em relação ao raio R do círculo circunscrito:

[tex3]A = \frac{a \cdot b \cdot c}{4 \cdot R}[/tex3]

Mas, como a altura é 4, podemos dizer que [tex3]A=\frac{4 \cdot a}{2}[/tex3]

Podemos agora igualar as duas equações e colocar R=5:

[tex3]\frac{a \cdot b \cdot c}{4 \cdot 5}=\frac{4 \cdot a}{2}[/tex3]

[tex3]b \cdot c = 40[/tex3]

Este produto de números inteiros só resultará 40 nos seguintes casos:

[tex3]1\cdot 40\\
5\cdot 8\\
2\cdot 20\\
10\cdot 4[/tex3]

Note que [tex3]1\cdot 40[/tex3] é impossível, pois o perímetro é [tex3]19,[/tex3] e um lado igual a [tex3]40[/tex3] já ultrapassa [tex3]19.[/tex3]
Idem para [tex3]2\cdot 20[/tex3]

Veja que [tex3]10\cdot 4[/tex3] já não satisfaz a desigualdade triangular.

Ficamos então com [tex3]5\cdot 8[/tex3]

[tex3]a = 6\\
b = 5\\
c = 8[/tex3]

Apenas 1 triângulo existe.

Atenciosamente
Prof. Caju
WebMaster TutorBrasil.com.br

[wilterfell]

Olá professor,
No caso dessa questão, meu tio chamou a atenção para a incompatibilidade nos dados da mesma. Segue a justificativa:

A questão deveria ser ou foi anulada pois os dados, a meu ver, são incompatíveis. De acordo com a solução proposta,o triângulo teria as medidas expressas pelos números 8, 5 e 6 (perímetro 19). Para essas medidas o triângulo teria 14,98 unidades de área.
Logo o raio do círculo circunscrito seria R= abc/4S 8x5x6/4x14,98 = 4,005 e não 5 como proposto no problema. E a altura relativa ao lado com medida 6 seria calculada assim: ha = 2S/6 =2x14,98/6 =4,99 e não 4 como consta do problema.

Área do triângulo.png

[cajuADMIN]

Olá wilterfell,

O argumento do seu tio é válido! Concordo com ele.

Provavelmente, por não conter a alternativa ZERO entre as respostas, fui levado a não testar a resposta 1 que encontrei.

Agora, como esta questão foi da prova de 1986, alguém teria o gabarito oficial para ver se foi realmente anulada?

Grande abraço,
Prof. Caju