Ensino Médio ⇒ MDC Tópico resolvido

[paulo testoniMOD]

O número de pares naturais [tex3](a,b)[/tex3] cuja soma é [tex3]5664[/tex3] e cujo [tex3]\text{mdc}[/tex3] é [tex3]354[/tex3] é:

a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4

[cajuADMIN]

Olá Paulo,

Se o [tex3]\text{mdc}[/tex3] é [tex3]354,[/tex3] podemos dizer que o primeiro número é algo como [tex3]354\cdot a[/tex3] e o segundo é algo como [tex3]354\cdot b[/tex3] onde [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] são números primos entre si (senão o [tex3]\text{mdc}[/tex3] seria diferente de [tex3]354[/tex3]).

Portanto, podemos escrever a soma como sendo:

[tex3]354\cdot a+354\cdot b=5664[/tex3]

Simplificando

[tex3]a+b=16[/tex3]

Já que 16 é um número pequeno, podemos testar uma a uma as possibilidades:

[tex3]0 + 16 \Rightarrow[/tex3] Falso, pois não são primos entre si.
[tex3]1 + 15 \Rightarrow[/tex3] OK
[tex3]2 + 14 \Rightarrow[/tex3] Falso
[tex3]3 + 13 \Rightarrow[/tex3] OK
[tex3]4 + 12 \Rightarrow[/tex3] Falso
[tex3]5 + 11 \Rightarrow[/tex3] OK
[tex3]6 + 10 \Rightarrow[/tex3] Falso
[tex3]7 + 9 \Rightarrow[/tex3] OK
[tex3]8 + 8 \Rightarrow[/tex3] Falso

Então temos os pares
[tex3](354\cdot 1,\,354\cdot 15)[/tex3]

[tex3](354\cdot 3,\, 354\cdot 13)[/tex3]

[tex3](354\cdot 5,\, 354\cdot 11)[/tex3]

[tex3](354\cdot 7,\, 354\cdot 9)[/tex3]