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O último teorema de Fermat, enunciado em 1637 por Pierre de Fermat, foi provado, em 1995, pelo matemático britânico Andrew Wiles. O referido teorema assevera que não existem números inteiros não nulos x, y, z e n,com n [tex3]\geq[/tex3] 2, de modo que [tex3]x^{n} + y^{n} = z^{n}[/tex3].Considere que a, b e c sejam números racionais positivos que
constituem as medidas dos três lados de um triangulo retângulo. Nessa situação, a partir do referido teorema de Fermat e de
propriedades dos números reais, assinale a opção correta.
A) Se a for um número inteiro, então a [tex3]\geq[/tex3] b+c
B) Se a e b forem números inteiros ímpares e se [tex3]a^{2} + b^{2} = c^{2}[/tex3],então c também será ímpar.
C)Se [tex3]a^{2} + b^{2} = c^{2}[/tex3],em que a = k, b = k + 2 e c = k + 4, e k>0,é um número inteiro, então, necessariamente,k>10.
D)Pelo menos um dos números [tex3]a^{2}[/tex3], [tex3]b^{2}[/tex3] ou [tex3]c^{2}[/tex3] é um número irracional.
E)Pelo menos um dos números [tex3]\sqrt{a}[/tex3],[tex3]\sqrt{b}[/tex3] ou [tex3]\sqrt{c}[/tex3] é um número irracional.

Primeiro, uma correção no enunciado: O teorema de Fermat só fala em [tex3]n\ge 3[/tex3]. Para [tex3]n=2[/tex3] é possível sim, como sabemos pelo teorema de pitágoras.

Vamos descartando as opções:

A) Não está certa, essa desigualdade aí contraria a desigualdade triangular, que diz que a soma de dois lados é sempre maior que o terceiro. De toda forma, um contra exemplo o triângulo retângulo de lados 3, 4 e 5. Qualquer ordem que você atribuir esse valores para [tex3]a, b[/tex3] e [tex3]c[/tex3] não valerá.

B) Não pode ser. Se [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] são ímpares, então [tex3]a^2[/tex3] e [tex3]b^2[/tex3] são ímpares. Portanto, [tex3]a^2+b^2=c^2[/tex3] é par e, logo, [tex3]c[/tex3] é par.

C) Também não. Substitua: [tex3]a^2+b^2=c^2 \iff k^2+(k+2)^2=(k+4)^2[/tex3]. Você vai ver que única solução positiva é [tex3]k=6[/tex3]

D) Novamente, os número 3, 4 e 5 satisfazem o teorema de Pitágoras, mas o quadrado de nenhum deles é irracional

E) Essa sim é verdade. A raiz de um número real só é racional, se esse número for o quadrado de um racional. Suponha que sejam [tex3]a=(p_1/q_1)^2;\ b=(p_2/q_2)^2; c=(p_3/q_3)^2;\ \ p_1, p_2, p_3, q_1, q_2, q_3 \in \mathbb{Z}, \ \ q_1, q_2, q_3 \ne 0.[/tex3]

Daí, [tex3]a^2+b^2=c^2\iff \left(\dfrac{p_1}{q_1}\right)^4+\left(\dfrac{p_2}{q_2}\right)^4=\left(\dfrac{p_3}{q_3}\right)^4 \iff \\
\ \\
\ \\
(p_1q_2q_3)^4+(p_2q_1q_3)^4=(p_3q_1q_2)^4[/tex3],
o que contraria o teorema de Fermat. Então pelo menos um dos número [tex3]a, b[/tex3] ou [tex3]c[/tex3] não é o quadrado de um racional. Portanto, uma das raízes é irracional.