Ensino Superior ⇒ Conversão de uma Equação Polar em Equação Cartesiana

[Jorge Luiz]

a forma cartesiana da equação r= [tex3]\frac{4}{1-2 \sen \theta}[/tex3] e:

[Karl Weierstrass]

Determine a forma cartesiana da equação [tex3]\rho= \frac{4}{1-2 \text{sen}\theta}[/tex3].

[tex3]\hspace{70pt}x=\rho\cos\theta[/tex3] e [tex3]y=\rho\text{sen}\,\theta[/tex3]

[tex3]\hspace{70pt}x^2+y^2=\rho^2\cos^2\theta+\rho^2\text{sen}^2\,\theta=\rho^2(\text{sen}^2\,\theta+\cos^2\theta)=\rho^2.[/tex3]

E

[tex3]\hspace{70pt}\rho=\sqrt{x^2+y^2}\,\,\,\, (\rho>0)[/tex3]

Ainda vamos precisar de [tex3]\text{sen}\,\theta[/tex3]:

[tex3]\hspace{70pt}y=\rho\text{sen}\,\theta\Longrightarrow \text{sen}\,\theta=\frac{y}{\rho}=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}[/tex3]

Substituindo na equação dada, segue que

[tex3]\hspace{70pt}\rho= \frac{4}{1-2 \text{sen}\theta}\Longrightarrow \rho(1-2 \text{sen}\theta)=4\Longrightarrow \sqrt{x^2+y^2}\,\left(1-\frac{2y}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)=4\Longrightarrow \sqrt{x^2+y^2}-2y=4.[/tex3]

Essa é uma equação. Elevando os dois lados da igualdade ao quadrado ...






[tex3]\,[/tex3]