Pré-Vestibular ⇒ (UFU - 2003) Números Complexos Tópico resolvido

[carolinanunes]

Se S = i + i² + i³ + ... + [tex3]i^{2003}[/tex3], em que i² = –1, então S é igual a:
A) 0
B) –1
C) i
D) i – 1

[Cássio]

Olá, carolinanunes.

As potência consecutivas de [tex3]i[/tex3] se repetem a cada 4 potências: [tex3]i^1=i;\ \ i^2=-1;\ \ i^3=-i;\ \ i^4=1;\ \ i^5=i\ldots.[/tex3] Então podemos separar assim:

[tex3]i+i^2+i^3+i^4=i-1-i+1=0\\ i^5+i^6+i^7+i^8=i-1-i+1=0\\
i^9+i^{10}+i^{11}+i^{12}=i-1-i+1=0\\
\vdots \\
i^{1997}+i^{1998}+i^{1999}+i^{2000}=0\\
i^{2001}+i^{2002}=i+(-1)=i-1.\ \\ \ \\ \ \\
\Rightarrow s=i-1.[/tex3]

Você poderia ver essa soma como soma dos termos de uma P.G de termo inicial [tex3]i[/tex3] e razão [tex3]i,[/tex3] e então usar a fórmula para soma dos termos de uma P.G.

[PedroCunha]

Cássio, um pequeno erro:

A soma vai de [tex3]i[/tex3] até [tex3]i^{2003}[/tex3], logo, o resultado final é:

[tex3]S = i - 1 - i \therefore S = -1[/tex3]

Att.,
Pedro