Pré-Vestibular ⇒ (Apostila Etapa) Inequação Logarítimica Tópico resolvido

[Fabim]

[tex3]\log_{0,5}\,\left(x^{2}- x - \frac{3}{4}\right) > 2 - \log_{2}5[/tex3]

12)Qual é o Conjunto Verdade?

Resposta

---

[tex3]V=\left]-1;-\frac{1}{2}\right[ \,\,\cup\,\, \left]\frac{3}{2};2\right[[/tex3]

[LeoSueiro]

Em primeiro lugar, você deve transformar a base do logaritmo de 0,5 para 2^-1 ... Usando as propriedades dos logaritmos, esse expoente -1 vai para frente do logaritmo, e o logaritmo fica sendo de base 2.

Depois é só passar o outro logaritmo para o lago desse primeiro, fazer o logaritmo da subração, e calcular a inequação normalmente.

Você vai precisar calcular duas inequações:
1) a normal
2) a condição de existência

e fazer a intersecção entre os dois resultados.

[Cientista]

Olá pessoal,
Vamos fazer em partes, o cálculo é simples embora meio longo e cansativo, então onde eu falhar peço que me errijam(corrijam):
Sabemos que [tex3]\log _ab[/tex3] onde [tex3]b>0(logaritmando)[/tex3] e [tex3]c>0\wedge \neq 1(base)[/tex3]
Logo, temos que [tex3]x^{2}-x-\frac{3}{4}>0[/tex3]
factorizando ou usando a fórmula Bhaskara [tex3]x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2\cdot a}\rightarrow \frac{1\pm 2}{2}=\frac{3}{2}\vee -\frac{1}{2}[/tex3] tiramos que [tex3]x_{t}=\(x+\frac{1}{2}\)\cdot \(x-\frac{3}{2}\)>0[/tex3] Usando diversos métodos de Inequações Quadráticas, usando o método de tabela/jogo de sinais tiramos que [tex3]x\in ]-\infty ;-\frac{1}{2}[\cup]\frac{3}{2};+\infty [[/tex3]. Agora vamos pegar a Segunda, primeiro sabemos que [tex3]\log _{b^{n}}a\rightarrow \frac{1}{n}\cdot \log _ba[/tex3] consequentemente [tex3]\log _{b}a^{\frac{1}{n}}[/tex3], logo: [tex3]\log _\frac{1}{2}\(x^{2}-x-\frac{3}{4}\)>2-\log _25[/tex3] logo [tex3]\log _{2^{-1}}\(x^{2}-x-\frac{3}{4}\)>2-\log _25[/tex3] então [tex3]\log _{2}\(\frac{1}{x^{2}-x-\frac{3}{4}}\)+\log _25>2[/tex3] Sabemos que [tex3]\log _ba+\log _bn\rightarrow \log _{b}(a\cdot n)[/tex3] então: [tex3]\log _{2}[{\(\frac{1}{x^{2}-x-\frac{3}{4}}\)\cdot 5}]>2[/tex3] Sabemos que [tex3]\log _ba=x\rightarrow a=b^{x}[/tex3] logo: [tex3]\(\frac{1}{x^{2}-x-\frac{3}{4}}\)\cdot 5>4\rightarrow x^{2}-x-2>0[/tex3] factorizando teremos [tex3]x_{t}=(x-2)\cdot (x+1)>0[/tex3] Usando o Método gráfico teremos como [tex3]x\in ]-\infty ;-1[\cup]2;+\infty [[/tex3] Então fazendo a intersecção de [tex3]1[/tex3] com o [tex3]2[/tex3] Teremos [tex3]x_{t_{1}}\cap x_{t_2}\rightarrow ]-\infty ;-\frac{1}{2}[\cup ]\frac{3}{2};+\infty [\cap ]-\infty ;-1[\cup]2;+\infty [[/tex3], então vamos por eles no seguinte esquema, repara que são dois sistemas (valores de [tex3]x_{t_{1}};x_{t_2})[/tex3] então eles tambêm devem intersectar em duas rectas, as bolinhas representadas é um segmento imaginário vertical na qual podemos observar onde ambos intersectam em 2 rectas, e repara que eles intersectam a este facto no lado esquerdo como tambêm no lado direito, repare:

Representação em intervalos

2014.png (17 KiB) Exibido 1299 vezes

, então a solução/conjunto verdade será [tex3]x\in ]-1;\frac{-1}{2}[\cup]2;\frac{3}{2}[[/tex3].

[jrneliodias]

Olá, Pessoal.

Para corrigir alguns pequenos erros e acrescentar outra solução, postarei meu comentário. Vejamos que:

[tex3]\log_{0,5}\left(x^2-x-\frac{3}{4}\,\right)\,\in\,\mathbb{R}\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,\,x^2-x-\frac{3}{4}>0[/tex3]

Sabendo que essa inequação é equivalente a [tex3]\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{3}{2}\right)>0[/tex3], se temos uma inequação na forma [tex3](x-a)(x-b)>0[/tex3], onde [tex3]a<b[/tex3], seu conjunto solução será [tex3]x<a\,\,\,ou\,\,\,\,x>b[/tex3].

Dessa forma, teremos:

[tex3]\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{3}{2}\right)>0\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,\,x<-\frac{1}{2}\,\,\,ou\,\,\,x>\frac{3}{2}[/tex3]

Seguindo a resolução, seria conveniente notar que:

[tex3]2-\log_2 5\,\,=\,\,-\log_2\left(\frac{5}{4}\right)[/tex3]

[tex3]\log_{0,5}\left(x^2-x-\frac{3}{4}\,\right)\,\,=\,\,-\log_2 \left(x^2-x-\frac{3}{4}\,\right)[/tex3]

Assim, obtemos,

[tex3]\log_{0,5}\left(x^2-x-\frac{3}{4}\,\right)>2-\log_2 5\,\,\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,\,-\log_2 \left(x^2-x-\frac{3}{4}\,\right)>-\log_2\left(\frac{5}{4}\right)[/tex3]

Ou seja,

[tex3]\log_2 \left(x^2-x-\frac{3}{4}\,\right)<\log_2\left(\frac{5}{4}\right)[/tex3]

Quando temos uma inequação na forma [tex3]\log_a b<\log_a c[/tex3], no qual [tex3]a>1[/tex3], é verdade dizer que ela é equivalente a [tex3]b<c[/tex3]. Diante disso,

[tex3]\log_2 \left(x^2-x-\frac{3}{4}\,\right)<\log_2\left(\frac{5}{4}\right)\,\,\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,\,x^2-x-\frac{3}{4}<\frac{5}{4}[/tex3]

Logo,

[tex3]x^2-x-2<0\,\,\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,\,(x+1)(x-2)<0[/tex3]

Na inequação na forma [tex3](x-a)(x-b)<0[/tex3], onde [tex3]a<b[/tex3], seu conjunto solução será [tex3]a<x<b[/tex3], então,

[tex3](x+1)(x-2)<0\,\,\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,\,-1<x<2[/tex3]

Todavia, comparando com a nossa condição de existência, percebe-se que a solução do problema será:

[tex3]S=\left\{\,x\,\in\,\mathbb{R}\,\,|\,\,-1<x<-\frac{1}{2}\,\,\,\,ou\,\,\,\frac{3}{2}<x<2\,\right\}[/tex3]

Espero ter ajudado, abraço.

[Cientista]

Carambaaa.... É isso aí Nélio!!!! Falhei no cálculo das raízes acima, logicamente anularia a solução, vou editar a minha Mensagem, tentei resolver mentalmente o cálculo das raízes e acabei me dando mal!!!