Pré-Vestibular ⇒ (Cesgranrio - 1979) Sistema Linear Tópico resolvido

[FRANCISCO749]

O valor de m para que o sistema[tex3]\begin{cases}x^{2}+y^{2}+x+m=0 \\ x^{2}+y^{2}+mx+1=0\end{cases}[/tex3] tenha única solução é:

Resposta

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[tex3]m=-2[/tex3]

Desde de já agradeço

[Cássio]

Veja que
[tex3]\begin{cases}x^2+y^2+x+m=0\\
x^2+y^2+mx+1=0\end{cases} \\ \\ \Rightarrow x+m=mx+1\ \iff \ mx-m-x+1=0\iff (m-1)(x-1)=0.[/tex3]

Então, temos dois casos:

1) [tex3]m=1.[/tex3] Daí, [tex3]\begin{cases}x^2+y^2+x+1=0\\
x^2+y^2+x+1=0\end{cases}\\ \\
\Rightarrow y^2=-x^2-x-1 \iff x=y=0,[/tex3]
onde vemos que não há solução, pois [tex3]-x^2-x-1[/tex3] é sempre negativo.

2) [tex3]x=1.[/tex3] Daí, [tex3]\begin{cases}y^2+2+m=0\\
y^2+2+m=0\end{cases}\\ \\
\Rightarrow y^2=-m-2[/tex3].
Se [tex3]m>-2,[/tex3] não existe solução. Se [tex3]m=-2[/tex3] a única solução é [tex3]y=0.[/tex3]
Se [tex3]m<-2,[/tex3] então [tex3]-m-2>0[/tex3] e daí existem sempre pelo menos duas soluções: uma com [tex3]y=\sqrt{-m-2}[/tex3] e outra com [tex3]y=-\sqrt{-m-2}.[/tex3]