Ensino Superior ⇒ Passar para coordenadas polares Tópico resolvido

[Loreto]

Passar para coordenadas polares :

[tex3]\int\limits_{0}^{1} \int\limits_{x^2}^{\sqrt{2-x^2}\sqrt{}}(x^2+y^2dy)dx[/tex3]

Pela resposta do livro, temos que para passar para a coordenada polar, devemos observar que nossa região A está limitada por [tex3]x^2 + y^2[/tex3] [tex3]\leq 2[/tex3] , y [tex3]\geq x^2[/tex3] e [tex3]0\leq x\leq 1[/tex3].

Assim,

a parábola [tex3]y[/tex3]= [tex3]x^2[/tex3], será escrita em coordenadas polares na forma :

r = sen [tex3]\theta / cos^2 \theta[/tex3]

Até então, tudo certo, mas daí eu não entendi como ele encontrou o ângulo [tex3]\theta[/tex3] na integral, ficando dessa forma :

[tex3]\int\limits_{0}^{\pi /4}dx \int\limits_{0}^{sen\theta /cos^2\theta}r^2drd\theta + \int\limits_{\pi /4}^{\pi /2}\int\limits_{0}^{\sqrt{2}}r^2drd\theta[/tex3]

Minha dúvida é como ele encontrou o raio e o ângulo e porque a resposta abriu em duas integrais com intervalos diferentes e como ele achou esses intervalos.
Obrigado pessoal.
Abração.

[Vinisth]

Olá Loreto,

[tex3]\int_0^1 \int\limits_{x^2}^{\sqrt{2-x^2}}x^2+y^2 \ dydx[/tex3]

Olhando para os intervalos de integração tiramos que
[tex3]x^2 \leq y \le x^2+y^2=2[/tex3]

Pelos limites de integração a área pedida será a azul. Vou postar o diagrama para você entender melhor.

Integral.png (17.82 KiB) Exibido 742 vezes

O raio do círculo é [tex3]r^2=2 \implies r=\sqrt{2}[/tex3], a parábola em coordenadas polares fica [tex3]r={\sin(\theta)\over \cos^2(\theta)}[/tex3], portanto este ângulo de [tex3]\frac \pi 4[/tex3] é encontrado igualando os raios.
[tex3]r={\sin(\theta)\over \cos^2(\theta)}=\sqrt{2} \ \implies \sin(\theta)=\sqrt{2}(1-\sin^2(\theta))[/tex3]

Resolvendo a equação de segundo grau temos
[tex3]\sin(\theta)=\pm \frac{1} {\sqrt{2}}[/tex3], interessa apenas a raiz positiva, pois nosso cálculo será no primeiro quadrante. Tiramos [tex3]\sin(\theta)= \frac{1} {\sqrt{2}} \implies \theta={\pi \over 4}[/tex3]

Disso você chega nas duas integrais, pois você deve calcular a área da parábola e depois do pedaço do círculo restante. Fica pra você observar e interpretar as integrais.

[tex3]A= \int_0^{\frac \pi 4}\int\limits_{0}^{sen\theta \over \cos^2\theta}r^3 \ dr \ d \theta+\int\limits_{\pi \over 4}^{\pi \over 2}\int\limits_{0}^{\sqrt{2}}r^3\ dr\ d\theta[/tex3]

Abraço.

[Loreto]

Olá Vinish, obrigado pela ajuda, entendi sua explicação sobre os raios lá, mas não sei se entendi certinho a área de integração da primeira integral. Daí mudei a cor no seu desenho e indiquei onde acho que eu deveria dividir as integrais, seria isso ?

Caso seja, foi escolhido o intervalo de integração do raio na equação da parábola porque ela é quem limita as duas áreas de integração ? Tipo, se fosse um quadrado que limitasse, daí seria a equação do desse quadrado ?

Obrigado novamente, você tem me ajudado muito.
Abraçãoo

[ManUtd]

Olá Vinish, obrigado pela ajuda, entendi sua explicação sobre os raios lá, mas não sei se entendi certinho a área de integração da primeira integral. Daí mudei a cor no seu desenho e indiquei onde acho que eu deveria dividir as integrais, seria isso ?

Caso seja, foi escolhido o intervalo de integração do raio na equação da parábola porque ela é quem limita as duas áreas de integração ? Tipo, se fosse um quadrado que limitasse, daí seria a equação do desse quadrado ?

Obrigado novamente, você tem me ajudado muito.
Abraçãoo

Olá.se me permite entrar na discussão, ao meu ver a área de integração é:

Integral.png (19.53 KiB) Exibido 713 vezes

[Loreto]

Mas isso não mudaria a expressão final da Integral ? A resposta do livro confere com a resolução.
Mas de fato, o [tex3]y \geq x^2[/tex3].

[ManUtd]

Mas isso não mudaria a expressão final da Integral ? A resposta do livro confere com a resolução.
Mas de fato, o [tex3]y \geq x^2[/tex3].

Não mudaria pois os as integrais do post do usuário que respondeu estão corretas, apenas o gráfico área de integração está errado.

[Loreto]

Entendo ! Obrigado