Ensino Superior ⇒ Passar para coordenadas polares Tópico resolvido

[Loreto]

Fiquei com dúvida ao descobrir o angulo [tex3]\theta[/tex3] nessa integral :

[tex3]\int\limits_{0}^{a} \int\limits_{0}^{\sqrt{a^2-x^2}}\sqrt{x^2+y^2}[/tex3] dydx onde [tex3](a>0)[/tex3]

[emanuel9393MOD]

Olá, Loreto!

Eu não entendi muito bem a sua dúvida. Você quer saber como expressar a região de integração em coordenadas polares? Se for isso, vamos lá:
Na integral dupla

[tex3]\int_{0}^{a}\int_{0}^{\sqrt{a^2 - x^2}}\sqrt{x^2 + y^2} \ dy \ dx[/tex3]

Veja que a variável [tex3]y[/tex3] varia de [tex3]0[/tex3] à [tex3]\sqrt{a^2 - x^2}[/tex3] e isso corresponde a área entre a reta [tex3]y=0[/tex3] e a semicircunferência [tex3]y=\sqrt{a^2 - x^2}[/tex3], sendo está última também escrita como [tex3]x^2 + y^2 = 0 ,\ \ \ y \geq 0[/tex3]. A variável [tex3]x[/tex3] varia de [tex3]0[/tex3] à [tex3]a[/tex3] ([tex3]a>0[/tex3]). Com isso, a região de integração [tex3]B[/tex3] se limita a parte da semicircunferência que se encontra no primeiro quadrante. Ou seja:

[tex3]B = \left\{\left(r,\theta\right) | \ \ 0\leq r \leq a \ \ \text{e} \ \ 0 \leq \theta \leq \dfrac{\pi}{2}\right\}[/tex3]

Observe também que se [tex3]f \left(x,y\right) = \sqrt{x^2 + y^2}[/tex3] então em coordenadas polares, temos [tex3]f(r , \theta ) = r[/tex3] pois [tex3]r = \sqrt{x^2 + y^2}[/tex3]. Com isso, lembrando que o jacobiano da transformação das variáveis em coordenadas retangulares para coordenadas polares é [tex3]\left| J \right| = r[/tex3] temos:

[tex3]\int_{0}^{a}\int_{0}^{\sqrt{a^2 - x^2}}\sqrt{x^2 + y^2} \ dy \ dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^a r \ dr \ d\theta = \boxed{\boxed{\dfrac{\pi a^2}{4}}}[/tex3]

Grande abraço!

[Loreto]

Obrigado Emanuel9393 !!
Entendi sua explicação, mas ainda fiquei com dúvida de como você achou o 0 [tex3]\leq[/tex3] [tex3]\theta \leq \pi /2[/tex3].
Algébricamente eu tento fazer o seguinte :

[tex3]0 = r^2.cos^2 \rightarrow cos^2 \theta = 0[/tex3]
Então aí encontro [tex3]\theta = \pi /2[/tex3]
Podemos fazer assim néh ? Claro que desenhar o gráfico ajuda muito !!
Obrigadão xD