Ensino Médio ⇒ Sistema de Equações Logarítmicas Tópico resolvido

[olgario]

Determinar o Conjunto Verdade do seguinte Sistema:

[tex3]\begin{cases}\log_4x\,\cdot \,\log_4y\,=\,2\\
x\cdot y\,=\,64\end{cases}[/tex3]

Resposta:

---

[tex3]\left\{(4,16) ; (16, 4)\right\}[/tex3]

Atenciosamente
olgario

[Karl Weierstrass]

[tex3]\begin{cases}\log_4x\,\cdot\,\log_4y\,=\,2\\
x\cdot y\,=\,64 \end{cases} \Longrightarrow
\begin{cases}\log_4x\,\cdot\,\log_4\frac{64}{x}\,=\,2\\
y\,=\,\frac{64}{x} \end{cases} \Longrightarrow
\begin{cases}\log_4x\,\cdot\,(\log_464-\log_4x)\,=\,2\\
y\,=\,\frac{64}{x}\end{cases}[/tex3]

[tex3]\hspace{70pt}\log^2_4x-3\cdot\log_4x+2=0\Longrightarrow\log_4x=1[/tex3] ou [tex3]\log_4x=2[/tex3]

Donde [tex3]x=4\Longrightarrow y=\frac{64}{4}=16[/tex3] e [tex3]x=16\Longrightarrow y=\frac{64}{16}=4[/tex3].

[tex3]\hspace{70pt}S=\{(4,\,16);\,(16,\,4)\}[/tex3].