Ensino Médio ⇒ Demostração de Equação Trigonométrica Tópico resolvido

[garciax]

Como chego nessa equação?
[tex3]sen^{2}[/tex3] x=[tex3]\frac{1-cos2x}{2}[/tex3]

[emanuel9393MOD]

Olá, Garciax!

Você certamente deve conhecer a seguinte identidade trigonométrica:

[tex3]\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x[/tex3]

Logo:

[tex3]\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = \left( 1 - \sin^2 x \right) - \sin^2 x \Rightarrow \cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x[/tex3]

e finalmente:

[tex3]\boxed{\boxed{\sin^2x = \dfrac{1 - \cos 2x}{2}}}[/tex3]

Grande abraço!

[garciax]

Emanuel9393, obrigada!!

[Cientista]

Olá Garciax, vou te passar algumas fórmulas de adição de Ângulos que eu sei por enquanto, pois elas ajudam muito nas Equações Trigonometricas, outro aspecto tambêm é saber como chegar a essas fórmulas, assim evita que você decore:
[tex3]1.sen2x=2.senx.cosx[/tex3];
[tex3]2.cos2x=cos^{2}x-sen^{2}x[/tex3];
[tex3]3.sen(x\pm y)=senx.cosy\pm cosx.seny[/tex3];
[tex3]5.cos(x\pm y)=cosx.cosy\mp senx.seny[/tex3];
[tex3]6.tg(x\pm y)=\frac{tgx\mp tgy}{1+\mp tgx.tgy}[/tex3];
[tex3]7.senx+seny=2.sen\frac{x+y}{2}.cos\frac{x-y}{2}[/tex3];
[tex3]8.senx-seny=2.cos\frac{x+y}{2}.sen\frac{x-y}{2}[/tex3];
[tex3]9.cosx-cosy=-2.sen\frac{x+y}{2}.sen\frac{x-y}{2}[/tex3];
[tex3]10.cosx+cosy=2.cos\frac{x+y}{2}.cos\frac{x-y}{2}[/tex3]. Então se você sabe a formação de uma, verá que as outras são muito simples de saber as suas origens, o que facilita a você não decorar, embora algumas são exclusivas, isto é, "especiais" a do ponto 6 particularmente, vejo muitos Exames Brasileiros sempre que há Equações Trigonómetricas envonvendo fórmulas de adição de Ângulos( ou Equações perifrásticas), a do ponto 6 é muito adorada.Espero ter ajudado!

[garciax]

Nossa, valeu demais Cientista!!!
Aproveitando a oportunidade, como faço pra completar o quadrado de uma equação desse tipo:
[tex3]x^{2}[/tex3]-6x+5
porque a única maneira que eu sei é tirando baskara e a partir disso pega as raízes e joga nessa fórmula
a(x-x1)(x-x2) mas nessa equação acima nao dá certo
o que fazer?

[Cientista]

Olá Garciax,
Essa fórmula serve para qualquer Equação Quadrática, repara que usando a fórmula de Bháskara nós tiramos [tex3]\Delta =16;x_{1}=5;x_{2}=1[/tex3] então basta usar a fórmula, nós tiramos que [tex3]x^{2}-6x+5=0[/tex3] o valor de [tex3]a=1[/tex3], e calculamos as raízes, então vamos substituir, [tex3]a.(x-x_{1}).(x-x_{2})\rightarrow 1.(x-1).(x-5)\rightarrow (x-1).(x-5)[/tex3], então repara que quando uma expressão está nessa forma [tex3]a(x-x_{1}).(x-x_{2})[/tex3] você sabe que [tex3]x_{1,2}[/tex3] são as raízes, só que ATENÇÃO quando você repara por exemplo [tex3](x+3).(x-4)[/tex3] você pode estar a pensar que as raízes são [tex3]3;-4[/tex3], quando está nessa forma você deve estar atento no SINAL, quando está nessa forma o sinal que você vê é contrário, se ali vem [tex3]+3[/tex3] quer dizer que a raíz é [tex3]-3[/tex3], quando você vê [tex3]-4[/tex3] quer dizer que a raíz é [tex3]4[/tex3], apenas quando está nessa forma [tex3]a.(x-x_{1}).(x-x_{2})[/tex3]. Um Exemplo seria o seu Exercicío dam-nos as raízes [tex3]1;5[/tex3] então quando você poem nessa forma as raízes vam inverter se era + para para menos se era + para para menos, então aí temos raízes positivas( com o sinal ++) logo se pusermos nessa forma elas vam inverter, vam ficar (x-1).(x-5), se nossas raízes fossem [tex3]-3;5[/tex3] temos uma raíz com -, que se pusermos dessa forma vai ficar + e outra raíz tem - que vai ficar +, entao (x+3).(x-5). Você deve estar pensando, SIM entendi( espero que tenha entendido) mas na verdade porquê acontece isso?????!!!!!!#!$
É simples, repara que o nosso negócio aqui é tratar das raízes, e você para poder calcular raízes deve zerar a expressão, isto é, igualar a sua expressão seja linear como quadrática, ou cúbica(dependendo da equação cúbica), por isso que a gente faz [tex3]x^{2}-4x+6=0[/tex3] nessa caso tambêm, temos [tex3](x-3).(x+2)=0[/tex3], então faz [tex3]x-3=0[/tex3] e [tex3](x+2)=0[/tex3] você verá que terá as raízes, ou você pode aplicar essa técnicas que eu mostrei, quando está nessa forma você pode ver a raíz e inverter o sinal( na forma mecânica) ou você pode calcular analitica, igualando a zero cada factor! Espero ter ajudado acho que a sua dúvida era isso, caso contrário pode detalha-la mais de modo que eu a interprete melhor e possa resolver e eleminar a sua dúvida.

[Cientista]

Olá Garciax,
Estou de volta, agora vou resolver a sua Equação usando o Método de completar Quadrados:
[tex3]x^{2}-6x+4=0[/tex3]
[tex3]x^{2}-6x+(\frac{6}{2})^{2}-(\frac{6}{2})^{2}+4=0[/tex3]
[tex3]x^{2}-6x+3^{2}-3^{2}+4=0[/tex3]
[tex3](x-3)^{2}-9+4[/tex3]
[tex3](x-3)^{2}-5[/tex3]
[tex3](x_{1}-3).(x_{2}-3)=5[/tex3]
[tex3](x_{1}-3)^{2}=5\rightarrow \sqrt{(x_{1}-3)^{2}}=\sqrt{5}\rightarrow x_{1,2}=\pm \sqrt{5}+3[/tex3]
[tex3]x_{1}=\sqrt{5}+3\rightarrow 2,23+3=5,23=5[/tex3]
[tex3]x_{2}=-\sqrt{5}+3=-2,23+3=1,23=1[/tex3] É uma questão de aproximação por excesso.
Espero ter ajudado.

[garciax]

Cientista, Ok. Porque você usou o [tex3]\left(\frac{6}{2}\right)[/tex3]? Poderia usar qualquer outro número?

[Cientista]

Não, você apenas divide por [tex3]2[/tex3] o coeficiente [tex3]b[/tex3]! Por exemplo:. [tex3]x^{2}-4x+6=0[/tex3] teríamos [tex3]x^{2}-4x+(\frac{4}{2})^{2}-(\frac{4}{2})^{2}+6=0[/tex3]

[garciax]

ahhh sim, entendi! obrigada.