Ensino Médio ⇒ Logaritmo (IEZZI) Tópico resolvido

[BrunoCFS]

Calcule a equação:
[tex3]\log _{2}\, \, x+\log _{3}\, \, x+\log _{4}\, \, x=1[/tex3]

Eu estava tentando resolve-la assim.
[tex3]\frac{1}{\log _{x}\, \, 2}+\frac{1}{\log _{x}\, \, 3}+\frac{1}{\log _{x}\, \, 4}=1[/tex3]

[tex3]\frac{(\log _{x}\, \, 2)+(\log _{x}\, \, 3)+(\log _{x}\, \, 4)}{(\log _{x}\, \, 2)\, \cdot \,(\log _{x}\, \, 3)\, \cdot \,(\log _{x}\, \, 4) }=1[/tex3]


Eu percebi que tem uma soma no numerador e um produto no denominador, logo tem alguma forma de eu resolve-la dizendo que esses log's são raízes de um polinômio ?

Se não tiver, tudo bem, só quero saber como se prossegue.

Agradeço desde já..

[Cientista]

Olá Bruno,
Eu resolvi usando uma máquina calculadora, então com base nas propriedades logaritmícas, podemos mudar para a base 2, de modo que nos possibilite mais nos cálculos, então usando a propriedade de mudança de base: [tex3]\boxed{\log _{b}{a}=\frac{\log _{c}{a}}{\log _{c}{b}}}[/tex3], então [tex3]\log _{2}x+\frac{\log _{2}x}{\log _{2}3}+\frac{1}{2}\cdot \log _{2}x=1[/tex3] Repara que [tex3]\boxed{\log _{p^c}a^{z}=\frac{z}{c}\cdot \log _{p}a}[/tex3] como tambêm [tex3]\log _{2}3=1,56=1,6[/tex3](Aproximação) logo [tex3]1,6=\frac{8}{5}[/tex3], então:
Consideremos [tex3]\boxed{\log _{2}x=y}[/tex3], substituindo teremos [tex3]y+\frac{y}{\frac{8}{5}}+\frac{1}{2}\cdot y=1[/tex3], logo tirámos que [tex3]\boxed{y=\frac{4}{13}}[/tex3], então [tex3]\frac{4}{13}=\log _{2}x\rightarrow x=\sqrt[13]{16}[/tex3].

[jrneliodias]

Olá, Pessoal.

Bruno,

[tex3]\frac{1}{\log_{x}\, \, 2}+\frac{1}{\log_{x}\, \, 3}+\frac{1}{\log_{x}\, \, 4}=\frac{\log_{x}\, \, 3\cdot \log_{x}\, \, 4+\log_{x}\, \, 2\cdot \log_{x}\, \, 4+\log_{x}\, \, 2\cdot \log_{x}\, \, 3}{\log_{x}\, \, 2\cdot \log_{x}\, \, 3\cdot\log_{x}\, \, 4}[/tex3]

Vamos lá,

[tex3]\log_{2}\, \, x+\log_{3}\, \, x+\log_{4}\, \, x=1[/tex3]

[tex3]\log_2 x+\frac{\log_2 x}{\log_2 3}+\frac{1}{2}\,\log_2 x=1[/tex3]

Façamos [tex3]a=\log _2 x[/tex3] e [tex3]b=\log_2 3[/tex3], temos:

[tex3]a+\frac{a}{b}+\frac{a}{2}=1[/tex3]

[tex3]2ab+2a+ab=2b[/tex3]

[tex3]3ab+2a=2b[/tex3]

[tex3]a(3b+2)=2b[/tex3]

[tex3]a=\frac{2b}{3b+2}[/tex3]

Resubstituindo:

[tex3]\log_2 x=\frac{2\log_ 2 3}{3\log_ 2 3+ 2}[/tex3]

[tex3]\log_ 2x =\frac{\log_ 2 9}{\log_ 2 108}[/tex3]

[tex3]x=2\,^{\log_{108} 9}[/tex3]


Espero ter ajudado, abraço.

[PedroCunha]

Veja:

[tex3]\log_2 x + \log_3 x + \log_4 x = 1 \therefore \log_2 x + \frac{\log_2 x}{\log_2 3} + \frac{\log_2 x}{\log_2 4} = 1 \Leftrightarrow \\\\ \log_2 x + \frac{\log_2 x}{\log_2 3} + \frac{\log_2 x}{2} = 1 \rightarrow \text{ Fazendo } \log_2 x = a: \\\\

a + \frac{a}{\log_2 3} + \frac{a}{2} = 1 \therefore a \cdot (1 + \frac{1}{\log_2 3} + \frac{1}{2}) = 1 \therefore \\\\ a \cdot \left(\frac{2 \cdot \log_2 3 + 2 + \log_2 3}{2 \cdot \log_2 3}\right) =1 \therefore a \cdot ( \log_2 9 + \log_2 4 + \log_2 3) = \log_2 9 \therefore \\\\ a \cdot ( \log_2 (9 \cdot 4 \cdot 3) ) = \log_2 9 \therefore a = \frac{\log_2 9}{\log_2 108} \therefore a = \frac{\frac{\log_{108} 9}{\log_{108} 2}}{\frac{\log_{108} 108}{\log_{108} 2}} \therefore a = \log_{108}9 \\\\ \therefore \log_2 x = \log_{108} 9 \Leftrightarrow \boxed{\boxed{ x = 2^{\log_{108} 9} }}[/tex3]

Att.,
Pedro

[Cientista]

Nélio como você chegou em [tex3]\log _{2}108[/tex3]?

Olá, Pessoal.

Bruno,

[tex3]\frac{1}{\log_{x}\, \, 2}+\frac{1}{\log_{x}\, \, 3}+\frac{1}{\log_{x}\, \, 4}=\frac{\log_{x}\, \, 3\cdot \log_{x}\, \, 4+\log_{x}\, \, 2\cdot \log_{x}\, \, 4+\log_{x}\, \, 2\cdot \log_{x}\, \, 3}{\log_{x}\, \, 2\cdot \log_{x}\, \, 3\cdot\log_{x}\, \, 4}[/tex3]

Vamos lá,

[tex3]\log_{2}\, \, x+\log_{3}\, \, x+\log_{4}\, \, x=1[/tex3]

[tex3]\log_2 x+\frac{\log_2 x}{\log_2 3}+\frac{1}{2}\,\log_2 x=1[/tex3]

Façamos [tex3]a=\log _2 x[/tex3] e [tex3]b=\log_2 3[/tex3], temos:

[tex3]a+\frac{a}{b}+\frac{a}{2}=1[/tex3]

[tex3]2ab+2a+ab=2b[/tex3]

[tex3]3ab+2a=2b[/tex3]

[tex3]a(3b+2)=2b[/tex3]

[tex3]a=\frac{2b}{3b+2}[/tex3]

Resubstituindo:

[tex3]\log_2 x=\frac{2\log_ 2 3}{3\log_ 2 3+ 2}[/tex3]

[tex3]\log_ 2x =\frac{\log_ 2 9}{\log_ 2 108}[/tex3]

[tex3]x=2\,^{\log_{108} 9}[/tex3]


Espero ter ajudado, abraço.

Nélio apartir de [tex3]3\log _{2}3+2[/tex3] como você chegou em [tex3]\log _{2}108[/tex3]?

[jrneliodias]

Olá, Ronny.

[tex3]3\log_2 3+ 2[/tex3]

[tex3]\log_2 3^3+\log_2 2^2[/tex3]

[tex3]\log _2 27+\log_2 4[/tex3]

[tex3]\log_2 108[/tex3]

Abraço.

[BrunoCFS]

Obrigado a todos !