Ensino Superior ⇒ Cálculo III - Equação Diferencial

[soaresv]

Olá pessoal, gostaria de saber como se resolve essa equação diferencial [tex3](1-x)y'' - y = 0[/tex3] usando séries de potências.

Obrigado pela atenção de todos.

[candre]

vou resolver ate onde consegui.
temos que resolver [tex3](1-x)y''-y=0[/tex3] por series de potencia, primeiramente vamos transformar essa igualdade em
[tex3](1-x)y''=y[/tex3]
vamos escrever [tex3]y[/tex3] e [tex3]y''[/tex3] em series de potencias, temos:
[tex3]y=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n\\
y'=\left(\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n\right)'=\sum_{n=0}^{+\infty}(a_nx^n)'=
\sum_{n=0}^{+\infty}a_nnx^{n-1}=\\\sum_{n=1}^{+\infty}a_nnx^{n-1}\equiv\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n+1}(n+1)x^n\\
y''=(y')'=\left[\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n+1}(n+1)x^n\right]'=\sum_{n=0}^{+\infty}\left[a_{n+1}(n+1)x^n\right]'=\\
\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n+1}(n+1)nx^{n-1}=\sum_{n=1}^{+\infty}a_{n+1}(n+1)nx^{n-1}\equiv\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n+2}(n+2)(n+1)x^n[/tex3]
colocando na igualdade temos:
[tex3](1-x)y''=y\\
(1-x)\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n+2}(n+2)(n+1)x^n=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n\\
\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n+2}(n+2)(n+1)x^n-x\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n+2}(n+2)(n+1)x^n=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n\\
\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n+2}(n+2)(n+1)x^n-\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n+2}(n+2)(n+1)x^{n+1}=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n[/tex3]
temos que comparar [tex3]x[/tex3] com [tex3]x[/tex3], [tex3]x^2[/tex3] com [tex3]x^2[/tex3], etc, então temos de manipular a expressão transformando o segundo somatório, de modo que obtemos:
[tex3]\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n+2}(n+2)(n+1)x^n-\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n+2}(n+2)(n+1)x^{n+1}=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n\\
\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n+2}(n+2)(n+1)x^n-\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n+1}(n+1)nx^{n}=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n[/tex3]
obtendo
[tex3]a_{n+2}(n+2)(n+1)-a_{n+1}(n+1)n=a_n,n=0,1,2,3,4,\cdots\\
a_{n+2}=\dfrac{a_n+a_{n+1}(n+1)n}{(n+2)(n+1)}[/tex3]
a ultima e uma formula de recorrência, ou seja, dados [tex3]a_0[/tex3] e [tex3]a_1[/tex3] obtemos o valor de [tex3]a_2,a_3,\cdots[/tex3].
a partir dai não faço a minima ideia do que fazer

[soaresv]

Amigo, só nao entendi o que foi feito nessa passagem:

[tex3]\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n+2}(n+2)(n+1)x^n-\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n+2}(n+2)(n+1)x^{n+1}=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n\\\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n+2}(n+2)(n+1)x^n-\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n+1}(n+1)nx^{n}=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n[/tex3]

como o segundo somatório foi transformado?
Pois se fizer, por exemplo, que [tex3]k=n+1[/tex3] para tentar tirar o [tex3]x^{(n+1)}[/tex3], teria de alterar o índice do somatório para n=1, não?


Obrigado pela atenção e ajuda.

[candre]

Amigo, só nao entendi o que foi feito nessa passagem:

[tex3]\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n+2}(n+2)(n+1)x^n-\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n+2}(n+2)(n+1)x^{n+1}=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n\\\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n+2}(n+2)(n+1)x^n-\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n+1}(n+1)nx^{n}=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n[/tex3]

como o segundo somatório foi transformado?
Pois se fizer, por exemplo, que [tex3]k=n+1[/tex3] para tentar tirar o [tex3]x^{(n+1)}[/tex3], teria de alterar o índice do somatório para n=1, não?


Obrigado pela atenção e ajuda.

eu fiz o que você disse mesmo, ou seja, fazemos [tex3]k=n+1[/tex3] então temos:
[tex3]\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n+2}(n+2)(n+1)x^{n+1}=\sum_{k=1}^{+\infty}a_{k+1}(k+1)kx^k[/tex3]
porem [tex3]a_{k+1}(k+1)kx^k=0[/tex3] para [tex3]k=0[/tex3], então mesmo que você "adicione" um termo a mais, esse termo que foi adicionado e um termo nulo, então não vai alterar o somatório, por isso podemos dizer que:
[tex3]\sum_{k=1}^{+\infty}a_{k+1}(k+1)kx^k=\sum_{k=0}^{+\infty}a_{k+1}(k+1)kx^k[/tex3]

[ManUtd]

[tex3]a_{n+2}(n+2)(n+1)-a_{n+1}(n+1)n=a_n,n=0,1,2,3,4,\cdots\\
a_{n+2}=\dfrac{a_n+a_{n+1}(n+1)n}{(n+2)(n+1)}[/tex3]
a ultima e uma formula de recorrência, ou seja, dados [tex3]a_0[/tex3] e [tex3]a_1[/tex3] obtemos o valor de [tex3]a_2,a_3,\cdots[/tex3].
a partir dai não faço a minima ideia do que fazer

Olá

Como a fórmula de recorrência depende de dois [tex3]a_{n}[/tex3]'s, obter uma fórmula do termo geral é em alguns casos impossível, mas podermos determinar separadamente quantos termos quisermos de [tex3]y_{1}(x)[/tex3] e [tex3]y_{2}(x)[/tex3].


A solução vai ser dada por : [tex3]y(x)=a_{0}y_{1}(x)+a_{1}y_{2}(x)[/tex3] ,logo para achar [tex3]y_{1}(x)[/tex3] façamos [tex3]a_{0}=1[/tex3] e [tex3]a_{1}=0[/tex3] na fórmula de recorrência.


[tex3]a_{2}=\frac{1}{2} \; , \; a_{3}=\frac{1}{3} \; , \; a_{4}=\frac{5}{24} \;\; , \;\; \cdots[/tex3]


Então : [tex3]y_{1}(x)=1+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{5x^4}{24}+ \cdots[/tex3]



Agora para achar [tex3]y_{2}(x)[/tex3] façamos [tex3]a_{0}=0[/tex3] e [tex3]a_{1}=1[/tex3] :


[tex3]a_{2}=1 \;\; , \;\; a_{3}=\frac{1}{2} \;\; , \;\; a_{4}=\frac{1}{3} \;\; , \;\; a_{5}=\frac{7}{10}[/tex3], logo :


[tex3]y_{2}(x)=x+x^2+\frac{x^3}{2}+\frac{x^4}{3}+\frac{7x^5}{10}+ \cdots[/tex3]




Logo o conjunto de soluções L.I é : [tex3]\boxed{ \boxed{ \boxed{ y(x)=a_{0} \left( 1+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{5x^4}{24}+ \cdots \right) +a_{1} \left( x+x^2+\frac{x^3}{2}+\frac{x^4}{3}+\frac{7x^5}{10}+ \cdots \right) }}}[/tex3]