@
juniorcesar,
Gabarito errado, o correto é 37
o
Caso queira é só deslocar o ponto B até A no desenho abaixo
https://www.geogebra.org/classic/phhs8m66
Sejam:
[tex3]m(A\hat{O}B) = 2\alpha\\m(B\hat{O}C) = 2\beta[/tex3]
Pelo enunciado, os ângulos são adjacentes e sua soma é
[tex3]106^\circ:2\alpha + 2\beta = 106^\circ \implies \alpha + \beta = 53^\circ[/tex3].
OY é bissetriz de
[tex3]A\hat{O}B[/tex3], logo divide o ângulo em dois de medida
[tex3]\alpha[/tex3].
OX é bissetriz de
[tex3]B\hat{O}C[/tex3], logo divide o ângulo em dois de medida
[tex3]\beta[/tex3].
O enunciado afirma que OZ é perpendicular a OX. portanto
[tex3]X\hat{O}Z =90^\circ[/tex3].
Existem duas posições possíveis para OZ em relação a OX:
Caso 1: OZ afastando-se de OB.
Caso 2: OZ aproximando-se e ultrapassando OB.
O ângulo
[tex3]X\hat{O}B = \beta[/tex3] (pois OX é bissetriz de
[tex3]B\hat{O}C[/tex3]).Pela geometria da disposição:
[tex3]m(B\hat{O}Z) = |m(X\hat{O}Z) - m(X\hat{O}B)|\\m(B\hat{O}Z) = |90^\circ - \beta|[/tex3]
Para que
[tex3]B\hat{O}Z[/tex3] seja o menor possível, o valor de
[tex3]\beta[/tex3] deve ser o maior possível, aproximando-se de
[tex3]90^\circ[/tex3].
[tex3]\alpha + \beta = 53^\circ[/tex3]
Como
[tex3]\alpha [/tex3] e
[tex3]\beta [/tex3]representam medidas de ângulos ambos devem ser maiores que zero. O valor máximo que
[tex3]\beta[/tex3] pode assumir é imediatamente inferior a
[tex3]53^\circ[/tex3] (quando
[tex3]\alpha[/tex3] tende a
[tex3] 0^\circ[/tex3]).
Substituindo o valor limite de
[tex3]\beta[/tex3]:
[tex3]m(B\hat{O}Z) = 90^\circ - 53^\circ = 37^\circ[/tex3]
Se considerássemos a outra direção para OZ, o ângulo seria
[tex3]90^\circ + \beta[/tex3], o que resultaria em um valor muito maior.