Pré-Vestibular ⇒ (UFPEL) Geometria Analítica: Área do Triângulo

[Natan]

A área de um triângulo é [tex3]12\,\text{cm}^2[/tex3]. Dois de seus vértices são [tex3](-1,\, -2)[/tex3] e [tex3](2,\, 3)[/tex3]. Sabendo que o terceiro vérice está sobre a reta [tex3]2x\,+\,y\,=\,2[/tex3]. Calcule as coordenadas desse vértice.

[Karl Weierstrass]

Seja [tex3]C(x_c,\,y_c)[/tex3] o terceiro vértice procurado.

• [tex3]C\,\in (r):2x\,+\,y\,=\,2\,\Longrightarrow\, y_c\,=\,-2x_c\,+\,2[/tex3]

A área do triângulo de vértices [tex3]A(x_a,\,y_a),[/tex3] [tex3]B(x_b,\,y_b)[/tex3] e [tex3]C(x_c,\,y_c)[/tex3] pode ser dada por:

• [tex3]S=\frac{1}{2} |\,\left| \begin{array}{cccc}x_a && x_b && x_c && x_a\\y_a && y_b && y_c && y_a\end{array}\right||=\frac{1}{2}\, \left|x_ay_b+x_by_c+x_cy_a-(x_by_a+x_cy_b+x_ay_c)\right|[/tex3]

Observe que o símbolo

• [tex3]\left| \begin{array}{cccc}x_a && x_b && x_c && x_a\\y_a && y_b && y_c && y_a\end{array}\right|,[/tex3]

apesar da semelhança, não é um determinante.

Desse modo,

• [tex3]12=\frac{1}{2} |\,\left| \begin{array}{cccc}-1 && 2 && x_c && -1\\-2 && 3 && -2x_c\,+\,2 && -2\end{array}\right||\Longrightarrow |7\,-\,11x_c|\,=\,24\Longrightarrow 7\,-\,11x_c\,=\,\pm 24[/tex3].

Resolvendo essa equação e calculando os respectivos valores de [tex3]y_c[/tex3], segue que

• [tex3]C=\left(-\frac{17}{11},\,\frac{56}{11}\,\right)[/tex3] ou [tex3]C=\left(\frac{31}{11},\,-\frac{40}{11}\,\right)[/tex3].