Pré-Vestibular ⇒ (FUVEST - 2001) Geometria Analítica: Área do Triângulo Tópico resolvido

[Natan]

A hipotenusa de um triângulo retângulo está contida na reta [tex3]r: y=5x-13,[/tex3] e um de seus catetos está contido na reta [tex3]s: y=x-1.[/tex3] Se o vértice onde está o ângulo reto é um ponto da forma [tex3](k, 5)[/tex3] sobre a reta [tex3]s,[/tex3] determine:

a) todos os vérices do triângulo;
b) a área do triângulo.

[Karl Weierstrass]

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a) Se [tex3]A(k,5)[/tex3] pertence à reta [tex3]s,[/tex3] então

• [tex3]5=k-1\Longrightarrow k=6.[/tex3]

Como a hipotenusa está contida na reta [tex3]r,[/tex3] a reta suporte do cateto [tex3]AC[/tex3] é perpendicular a [tex3]s.[/tex3] Seja [tex3]t[/tex3] esta reta. Logo,

• [tex3]m_t=-\frac{1}{m_s}=-1[/tex3]

e a equação de [tex3]t[/tex3] é

• [tex3]y-5=-1\cdot (x-6)\Longrightarrow y=-x+11.[/tex3]

O ponto vértice [tex3]C[/tex3] é a interseção de [tex3]t \text{ e } r.[/tex3] Assim, resolvendo o sistema

• [tex3]\begin{cases}y=-x+11\\y=5x-13 \end{cases}[/tex3]

encontramos [tex3]C(4,7).[/tex3]

Analogamente, resolvendo o sistema

• [tex3]\begin{cases}y=x-1\\y=5x-13 \end{cases}[/tex3]

encontramos [tex3]B(3,2).[/tex3]

b) A área do triângulo [tex3]ABC[/tex3] é dada por

• [tex3][ABC]=\frac{1}{2}\cdot \left|\left| \begin{array}{cccc}
  6 && 3 && 4 && 6 \\
  5 && 2 && 7 && 5 \end{array}\right| \right|=\frac{1}{2}\cdot |-12|=6\text{ u.a.}[/tex3]