Ensino Superior ⇒ Cálculo de Área por integrais Tópico resolvido

[Tiagofb]

Calcule a área da região do plano limitada pelas curvas em cada caso:

a) y = x² e y = x + 2

b) y = -x/2, y = 6 + x e y = x³

[candre]

[tex3]a)[/tex3] para ficar mais fácil vamos fazer os gráficos da função.
temos:
[tex3]y=x^2[/tex3], e sempre positiva e só intercepta o eixo [tex3]x[/tex3] no ponto [tex3]x=0[/tex3]
[tex3]y=x+2[/tex3], intercepta o eixo [tex3]x[/tex3] no ponto [tex3]x=-2[/tex3] e o eixo [tex3]y[/tex3] no ponto [tex3]y=2[/tex3]

a

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os pontos em que as funções se intersecção entre as funções são:
[tex3]x^2=x+2\Rightarrow x^2-x-2=0\\
\triangle=1+8=9\\
x=\frac{1\pm3}{2}\\
x_1=-1\\
x_2=2[/tex3]
temos pela figura que a reta esta por cima da parábola nesta região, então:
[tex3]A=\int_{-1}^{2}(x+2)-x^2dx=\int_{-1}^{2}-x^2+x+2dx=\left.-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+2x\right|_{-1}^{2}=\\
\left(-\frac{2^3}{3}+\frac{2^\cancel{2}}{\cancel{2}}+2\cdot2\right)-\left[-\frac{(-1)^3}{3}+\frac{(-1)^2}{2}+2(-1)\right]=\\
\left(-\frac{8}{3}+2+4\right)-\left[\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-2\right]=\\
\frac{-8+18}{3}-\frac{2+3-12}{6}=\\
\frac{10}{3}+\frac{7}{6}=\frac{20+7}{6}=\frac{27}{6}=4,5[/tex3]
tendo que a área vale [tex3]4,5[/tex3] unidades de área.
[tex3]b)[/tex3] fazendo o gráfico das funções [tex3]y=-\frac{x}{2},y=x+6,y=x^3[/tex3]

b

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[tex3]-\frac{x}{2}=6+x\Rightarrow x=-4\\
-\frac{x}{2}=x^3\Rightarrow x=0\\
6+x=x^3\Rightarrow x^3-x-6=0\Rightarrow2^3-2-6=8-8=0\Rightarrow x=2[/tex3]
podemos separar em duas regiões:
na primeira região, a reta [tex3]x+6[/tex3] esta por cima da reta [tex3]-\frac{x}{2}[/tex3] tendo:
[tex3]A_1=\int_{-4}^{0}x+6+\frac{x}{2}dx=\int_{-4}^{0}\frac{3}{2}x+6dx=\\
\left.\frac{3}{4}x^2+6x\right|_{-4}^{0}=\left(\frac{3}{4}0^2+6\cdot0\right)-\left[\frac{3}{4}(-4)^2+6(-4)\right]=-\left(\frac{3}{\cancel{4}}4^{\cancel{2}}-24\right)=-(12-24)=--12=12[/tex3]
na segunda região, a reta [tex3]x+6[/tex3] esta por cima da função [tex3]x^3[/tex3], tendo:
[tex3]A_2=\int_{0}^{2}x+6-x^3dx=\left.-\frac{x^4}{4}+\frac{x^2}{2}+6x\right|_{0}^{2}=\\
\left(-\frac{2^4}{4}+\frac{2^2}{2}+6\cdot2\right)-\left(-\frac{0^4}{4}+\frac{0^2}{2}+6\cdot0\right)=\\
-\frac{16}{4}+\frac{4}{2}+12=-4+2+12=10[/tex3]
somando tudo temos [tex3]A=A_1+A_2=12+10=22[/tex3]
logo a área e de [tex3]22[/tex3] unidades de area.