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mostre que se [tex3]y=\arctan(x)[/tex3] é a função inversa da função tangente, então ela satisfaz:
[tex3]\arctan(x)+\arctan\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{\pi}{2}+k\pi[/tex3] para algum [tex3]k\in\mathbb{Z}[/tex3]

Segue a minha prova. Alguém se habilita a validá-la?

Suponhamos dois arcos [tex3]\widehat{AB}[/tex3] e [tex3]\widehat{AC}[/tex3] de medidas [tex3]\alpha[/tex3] e [tex3]\beta[/tex3], respectivamente, tais que [tex3]\tan\alpha=x[/tex3] e [tex3]\tan\beta=\frac{1}{x}[/tex3].

Sabemos que a cotangente é o inverso da tangente e, portanto, [tex3]\tan\beta=\frac{1}{x}\rightarrow\cot\beta=x=\tan\alpha[/tex3].

Agora, vejamos esses arcos no círculo trigonométrico:
Repare que [tex3]\Delta OAE[/tex3] e [tex3]\Delta ODF[/tex3] são congruentes, visto que [tex3]\overline{OD}\equiv\overline{OA}[/tex3], [tex3]\widehat{D}\equiv\widehat{A}[/tex3] e [tex3]\overline{DF}\equiv\overline{AE}[/tex3] (semelhança por [tex3]LAL[/tex3]). Logo, [tex3]\epsilon=\alpha[/tex3] e, como [tex3]\beta+\epsilon=\frac{\pi}{2}[/tex3], conclui-se que [tex3]\beta+\alpha=\arctan\left(\frac{1}{x}\right)+\arctan(x)=\frac{\pi}{2}\rightarrow k=0[/tex3].

A imagem da função [tex3]\arctan(x)[/tex3] é [tex3]]-\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2}[[/tex3] e, portanto, a análise no círculo trigonométrico se resume aos 1º e 4º quadrantes. Quando [tex3]\beta<0[/tex3], [tex3]\alpha[/tex3] também o será, visto que, [tex3]\cot\beta=\tan\alpha[/tex3] e ambas as funções possuem o mesmo sinal em cada quadrante. Assim, por simetria, é evidente que toda a análise feita para o primeiro quadrante é válida também para o quarto.

completando:
temos que [tex3]\arctan(-x)=-\arctan(x)[/tex3] pois o numero sendo [tex3]y=\arctan(x)\iff x=\tan(y)[/tex3], sendo [tex3]\tan(-\theta)=-\tan(\theta)[/tex3] temos:
[tex3]y=\arctan(-x)\iff \tan(y)=-x\iff -\tan(y)=x\iff\\
\tan(-y)=x\iff -y=\arctan(x)\iff y=-\arctan(x)[/tex3]
sendo que você mostrou que quando [tex3]x>0\Rightarrow \arctan(x)+\arctan\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{\pi}{2}[/tex3] então:
[tex3]x>0,\arctan(-x)+\arctan\left(-\frac{1}{x}\right)=-\arctan(x)-\arctan\left(\frac{1}{x}\right)=-\left[\arctan(x)+\arctan\left(\frac{1}{x}\right)\right]=\\
-\frac{\pi}{2}[/tex3]
acho que também poderíamos fazer assim:
sendo [tex3]f(x)=\arctan(x)+\arctan\left(\frac{1}{x}\right)[/tex3]
temos que a função tem uma descontinuidade em [tex3]x=0[/tex3] sendo que os limites laterais são:
[tex3]\lim_{x\to0^{+}}\left[\arctan(x)+\arctan\left(\frac{1}{x}\right)\right]=\lim_{x\to0^{+}}\arctan\left(\frac{1}{x}\right)=\arctan\left(\lim_{x\to0^{+}}\frac{1}{x}\right)=\\
\arctan(+\infty)=\frac{\pi}{2}\\
\lim_{x\to0^{-}}\left[\arctan(x)+\arctan\left(\frac{1}{x}\right)\right]=\lim_{x\to0^{-}}\arctan\left(\frac{1}{x}\right)=\arctan\left(\lim_{x\to0^{-}}\frac{1}{x}\right)=\\
\arctan(-\infty)=-\frac{\pi}{2}[/tex3]
sendo que os limites laterais são diferentes, então a função não tem limite quando [tex3]x[/tex3] tende a zero, agora calculando a derivada para [tex3]x\ne0[/tex3]
[tex3]f'(x)=\left[\arctan(x)+\arctan\left(\frac{1}{x}\right)\right]'=\arctan'(x)+\arctan'\left(\frac{1}{x}\right)=\\
\frac{1}{1+x^2}+\left(\frac{1}{x}\right)'\frac{1}{1+\left(\frac{1}{x}\right)^2}=\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{x^2}\frac{1}{\frac{1+x^2}{x^2}}=\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{\cancel{x^2}}\frac{\cancel{x^2}}{1+x^2}=\\
\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+x^2}=0[/tex3]
que mostra que a função constante para [tex3]x\ne0[/tex3], portanto temos:
[tex3]f(x)=\begin{cases}+\frac{\pi}{2}&x>0\\-\frac{\pi}{2}&x<0\end{cases}[/tex3]
representada pela figura abaixo: considerando que a função tangente tem período [tex3]\pi[/tex3], temos que:
[tex3]\tan(y+k\pi)=\tan(y)=x\iff \arctan(x)=y+k\pi,k\in\mathbb{Z}[/tex3]
considerando isso temos, considerando o argumento principal, ou seja [tex3]\tan y=x\iff x=\arctan(y),-\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}[/tex3]
[tex3]\arctan(x)+k_1\pi+\arctan\left(\frac{1}{x}\right)+k_2\pi=\arctan(x)+\arctan\left(\frac{1}{x}\right)+(\overbrace{k_1+k_2}^{k})\pi=\\
\begin{cases}+\frac{\pi}{2}+k\pi&x>0\\-\frac{\pi}{2}+k\pi&x<0\end{cases},k_1\in\mathbb{Z},k_2\in\mathbb{Z},k\in\mathbb{Z}[/tex3]
resumindo para:
[tex3]\arctan(\pm x)+\arctan\left(\pm\frac{1}{x}\right)=\pm\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}[/tex3]