IME / ITA ⇒ (EsPCEx - 2011) Teoria de Conjuntos

[Cientista]

Considera os conjuntos [tex3]A=[/tex3]{[tex3]-1,2,3[/tex3]} e [tex3]B=[/tex3]{[tex3]x\in \mathbb{R}:|x|\leq 2[/tex3]}.
Define [tex3]A/\overline{B}[/tex3] e [tex3]\overline{A}/(\overline{B\cup \overline{A}})[/tex3]

[Cientista]

Faria mais sentido se em ambos os lados tivessem intervalos, porque se temos um intervalo e noutro não, eu posso ter infinitas soluções dependendo do sentido da desigualidade. X maior ou igual a 2, temos ...-2,-1,0,1,2 !

[candre]

temos [tex3]A=\{-1,2,3\}[/tex3] e [tex3]B=\{x\in\mathbb{R}:|x|<2\}[/tex3]
temos uma figura representando a situação:

conjuntos

002.png (8.85 KiB) Exibido 4848 vezes

vamos definir primeiramente [tex3]A/\overline{B}[/tex3] (também pode ser representado por [tex3]A-B[/tex3]), utilizando como auxilio a figura acima.
o conjunto [tex3]B[/tex3] esta sendo representado pela segunda circunferência, temos que seu complemento [tex3]\overline{B}[/tex3] sera os elementos que não estão na segunda circunferência, portanto se excluímos do conjunto [tex3]A[/tex3] todos que não estão em [tex3]\overline{A}[/tex3] teremos [tex3]A\cap B[/tex3], sendo que [tex3]A\cap B=\{-1,2,3\}\cap\{x\in\mathbb{R}:|x|<2\}=\{-1\}[/tex3]
outra forma e ver que:
[tex3]\overline{B}=\{x\in\mathbb{R}:|x|\ge2\}\\
A/\overline{B}=\{-1,2,3\}/\{x\in\mathbb{R}:|x|\ge2\}=\{-1\}[/tex3] pois [tex3]-1[/tex3] e o único elemento de [tex3]A[/tex3] que não tem modulo maior ou igual a [tex3]2[/tex3]
para [tex3]\overline{A}/(\overline{B\cup \overline{A}})[/tex3] temos:
temos que o conjunto [tex3]\overline{A}[/tex3] esta representado por tudo que esta fora da primeira circunferência, unindo com [tex3]B[/tex3] temos o que esta fora da primeira circunferência incluindo a intersecção das duas circunferências, o complemento disso sera o que esta dentro apenas da primeira circunferência, tirando isso do que esta fora da primeira circunferência continuaremos com e que esta fora da circunferência, teremos então que
[tex3]\overline{A}/(\overline{B\cup\overline{A}})=\overline{A}=\{x\in\mathbb{R}:x\ne-1\text{ e }x\ne2\text{ e }x\ne3\}[/tex3]
outra forma de ver é:
[tex3]\overline{A}=\{x\in\mathbb{R}:x\ne-1\text{ e }x\ne2\text{ e }x\ne3\}\\
B\cup\overline{A}=\{x\in\mathbb{R}:|x|<2\}\cup\{x\in\mathbb{R}:x\ne-1\text{ e }x\ne2\text{ e }x\ne3\}=\\
\{x\in\mathbb{R}:x\ne2\text{ e }x\ne3\}\\
\overline{B\cup\overline{A}}=\{x\in\mathbb{R}:x=2\text{ ou }x=3\}\\
\overline{A}/\overline{B\cup\overline{A}}=\{x\in\mathbb{R}:x\ne-1\text{ e }x\ne2\text{ e }x\ne3\}/\{x\in\mathbb{R}:x=2\text{ ou }x=3\}=\{x\in\mathbb{R}:x\ne-1\text{ e }x\ne2\text{ e }x\ne3\}[/tex3]

[Cientista]

O módulo influência em alguma coisa? Além de tudo, o complementar de x</2 seria x>2.

[candre]

o modulo influencia sim, pois e através dele que esta definido os elementos do conjunto [tex3]B[/tex3]
quando a segunda, cometi uma pequena distração e considerei [tex3]B=\{x\in\mathbb{R}:|x|<2\}[/tex3] quanto na verdade é [tex3]|x|\le 2[/tex3], vou refazer.

[candre]

temos [tex3]A=\{-1,2,3\}[/tex3] e [tex3]B=\{x\in\mathbb{R}:|x|\le2\}[/tex3]
temos uma figura representando a situação:

aux

002.png (8.85 KiB) Exibido 4844 vezes

vamos definir primeiramente [tex3]A/\overline{B}[/tex3] (também pode ser representado por [tex3]A-B[/tex3]), utilizando como auxilio a figura acima.
o conjunto [tex3]B[/tex3] esta sendo representado pela segunda circunferência, temos que seu complemento [tex3]\overline{B}[/tex3] sera os elementos que não estão na segunda circunferência, portanto se excluímos do conjunto [tex3]A[/tex3] todos que não estão em [tex3]\overline{A}[/tex3] teremos [tex3]A\cap B[/tex3], sendo que [tex3]A\cap B=\{-1,2,3\}\cap\{x\in\mathbb{R}:|x|\le2\}=\{-1,2\}[/tex3]
outra forma e ver que:
[tex3]\overline{B}=\{x\in\mathbb{R}:|x|>2\}\\
A/\overline{B}=\{-1,2,3\}/\{x\in\mathbb{R}:|x|>2\}=\{-1,2\}[/tex3] pois [tex3]-1[/tex3] e [tex3]2[/tex3] são os únicos elementos de [tex3]A[/tex3] que não tem modulo maior que [tex3]2[/tex3].
para [tex3]\overline{A}/(\overline{B\cup \overline{A}})[/tex3] temos:
temos que o conjunto [tex3]\overline{A}[/tex3] esta representado por tudo que esta fora da primeira circunferência, unindo com [tex3]B[/tex3] temos o que esta fora da primeira circunferência incluindo a intersecção das duas circunferências, o complemento disso sera o que esta dentro apenas da primeira circunferência, tirando isso do que esta fora da primeira circunferência continuaremos com e que esta fora da circunferência, teremos então que
[tex3]\overline{A}/(\overline{B\cup\overline{A}})=\overline{A}=\{x\in\mathbb{R}:x\ne-1\text{ e }x\ne2\text{ e }x\ne3\}[/tex3]
outra forma de ver é:
[tex3]\overline{A}=\{x\in\mathbb{R}:x\ne-1\text{ e }x\ne2\text{ e }x\ne3\}\\
B\cup\overline{A}=\{x\in\mathbb{R}:|x|\le2\}\cup\{x\in\mathbb{R}:x\ne-1\text{ e }x\ne2\text{ e }x\ne3\}=\\
\{x\in\mathbb{R}:x\ne3\}\\
\overline{B\cup\overline{A}}=\{x\in\mathbb{R}:x=3\}\\
\overline{A}/\overline{B\cup\overline{A}}=\{x\in\mathbb{R}:x\ne-1\text{ e }x\ne2\text{ e }x\ne3\}/\{x\in\mathbb{R}:x=3\}=\\\{x\in\mathbb{R}:x\ne-1\text{ e }x\ne2\text{ e }x\ne3\}[/tex3]

[Cientista]

Primeiramo vamos tirar todos dados possíveis:
Sabemos que [tex3]A=(-1;2;3)=\overline{A}=(-2;0;1;4)[/tex3] e também sabemos que [tex3]B=(-2;-1;0;2)=\overline{B}=(-3;1;3;4)[/tex3], Agora façamos parte por parte, primeiramente comecemos fazendo:
[tex3]\overline{B\cup \overline{A}}[/tex3], então tirámos que [tex3](-2;-1;0;2)\cup (-2;0;1;4)=\overline{(-2,-1,0,1,2,4)}=(-3;1;3;5)[/tex3], agora façamos a diferença, que é o que tem num conjunto e não tem noutro, assim teremos:
[tex3](-2;0;1;4)/(-3;1;3;5)=\boxed{(-2;0;4)}[/tex3] Foi assim como fiz!

[Cientista]

Agora não sei se está correcto fazer dessa forma que eu fiz.

[candre]

e a unica diferença entre as duas e o universo considerado, sendo que em uma e considerado o conjunto universo como sendo dos inteiros [tex3](U=\mathbb{Z})[/tex3] e em outra e considerada o conjunto universo como sendo dos reais [tex3](U=\mathbb{R})[/tex3].

[Osiris]

Essa questão é da prova da EsPCEx 2011?