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[tex3]i.i)[/tex3] Considere um instante qualquer [tex3]t[/tex3] medido após o inicio do lançamento do foguete.
Nesse instante, o foguete ja terá perdido uma massa [tex3]\Delta m=-k\cdot \Delta t[/tex3]. Portanto, a massa [tex3]m(t)[/tex3] que o foguete possui nesse instante é
[tex3]m(t)=m_0+\Delta m[/tex3]
[tex3]m(t)=m_0-k\cdot t[/tex3].


[tex3]i.ii)[/tex3] Vamos considerar agora um intervalo de tempo [tex3]\Delta t[/tex3] medido a partir de um instante aleatório [tex3]t[/tex3]. O foguete expelirá uma massa [tex3]-\Delta m=k\Delta t[/tex3] com velocidade média de [tex3]u[/tex3]. Portanto, estando o foguete apenas sobre ação externa da força da gravidade, notaremos de acordo, com o Teorema do Impulso, que:
[tex3]\Delta p=F\Delta t[/tex3]
[tex3]\Delta p=-m(t)\cdot g\cdot \Delta t[/tex3]

Para [tex3]\Delta t \approx0[/tex3], podemos aproximar:
[tex3]\Delta p\approx m(t)\cdot \Delta v+\Delta m\cdot u[/tex3]
(Lembrando que [tex3]\Delta m[/tex3]é uma grandeza negativa)
e ficamos com:
[tex3]m(t)\cdot \Delta v+\Delta m\cdot u \approx-m(t)\cdot g\cdot \Delta t[/tex3]
[tex3]m(t)\cdot \Delta v \approx-\Delta m\cdot u-m(t)\cdot g\cdot \Delta t[/tex3]
Dividindo ambos os lados por [tex3]\Delta t[/tex3], ficamos com:
[tex3]m(t)\cdot \frac{\Delta v}{\Delta t} \approx-\frac{\Delta m}{\Delta t}\cdot u-m(t)g[/tex3]
[tex3]m(t)\cdot \frac{\Delta v}{\Delta t} \approx k\cdot u-g[/tex3]
A aproximação se torna mais precisa quando [tex3]\Delta t \rightarrow 0[/tex3], de forma que:
[tex3]\lim_{\Delta t \rightarrow 0} [m(t)\cdot \frac{\Delta v}{\Delta t}] =k\cdot u-m(t)g[/tex3]
[tex3]m(t)\cdot \lim_{\Delta t \rightarrow 0} [\frac{\Delta v}{\Delta t}] =k\cdot u-m(t)g[/tex3]
[tex3]m(t)\cdot a(t) =k\cdot u-m(t)g[/tex3]
[tex3]a(t)=\frac{k\cdot u-m(t)g}{m(t)}[/tex3]
[tex3]a(t)=\frac{k\cdot u}{m(t)}-g[/tex3]
[tex3]a(t)=\frac{k\cdot u}{m_0-kt}-g[/tex3]


[tex3]i.iii)[/tex3] Para obtermos a equação da velocidade [tex3]v(t)[/tex3] do foguete, devemos integrar a [tex3]a(t)[/tex3] em [tex3]t[/tex3], ficando com:
[tex3]v(t)=\int\limits_{0}^{t}a(t)dt=\int\limits_{0}^{t}(\frac{k\cdot u}{m_0-kt}-g )dt=\int\limits_{0}^{t}(\frac{k\cdot u}{m_0-kt} )dt-g\int\limits_{0}^{t}dt[/tex3]

Para resolver a integral do lado direito, adotemos a mudança de variável [tex3]w=m_0-kt[/tex3]
Portanto,
[tex3]\frac{dw}{dt}=-k\therefore dt=\frac{-1}{k}dw[/tex3]
Daí,
[tex3]\int(\frac{k\cdot u}{m_0-kt} )dt=\int\frac{k\cdot u}{w} (\frac{-1}{k})dw=-u\int\frac{1}{w} dw=-u\cdot ln\left|w\right|=-u\cdot ln\left|m_0-kt\right|[/tex3]
Assim,
[tex3]v(t)=-u\cdot\ln\left|m_0-kt\right|\operatorname{\bigg|}\limits_{0}^{t}-g\cdot t[/tex3]
[tex3]v(t)=u\cdot ln\left|\frac{m_0}{m_0-kt}\right|-g\cdot t[/tex3]
Portanto;
[tex3]v(t)=u\cdot ln\left|\frac{1}{1-\frac{k}{m_0}t}\right|-g\cdot t[/tex3]


[tex3]i.iv)[/tex3]
Substituindo os valores, ficamos com:
[tex3]v(10)=5\cdot 10^{3}\cdot ln\left|\frac{1}{1-0,05\cdot 10}\right|-9,8\cdot 10=5\cdot 10^{3}ln(2)-98[/tex3]
[tex3]v(10)=5000(0,693)-98=3465-98=3367[/tex3]
[tex3]v(10) \approx 3,37\cdot 10^{3}m/s^{2}[/tex3]

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[tex3]ii.i)[/tex3] A altura [tex3]h(t)[/tex3] que o foguete alcança em um instante [tex3]t[/tex3] é obtida integrando [tex3]v(t)[/tex3] em [tex3]t[/tex3]. Assim, temos:
[tex3]h(t)=\int\limits_{0}^{t}v(t)dt=\int\limits_{0}^{t}(u\cdot ln\left|\frac{1}{1-\frac{k}{m_0}t}\right|-g\cdot t)dt=-u \int\limits_{0}^{t}ln\left|1-\frac{k}{m_0}t\right|dt-g\int\limits_{0}^{t}tdt[/tex3]

[tex3]ii.ii)[/tex3] Para resolver a integral do lado direito, adotemos a mudança de variável
[tex3]x=1-\frac{k}{m_0}t\therefore\frac{dx}{dt}=-\frac{k}{m_0}\therefore dt=-\frac{m_0}{k}dx[/tex3], ficamos com:
[tex3]\int ln\left|1-\frac{k}{m_0}t\right|dt=\int ln\left|x\right|\frac{-m_0}{k}dx=\frac{-m_0}{k}\int ln\left|x\right|dx[/tex3]
Para encontrar [tex3]\int ln|x|dx[/tex3], vamos prosseguir pelo Método de Integração por Partes:
Adote [tex3]z=x\therefore dz=dx[/tex3] e [tex3]y=ln|x|\therefore dy=\frac{1}{x}dx[/tex3]. Assim:
[tex3]z\cdot y=\int zdy+\int ydz[/tex3]
[tex3]x\cdot ln|x|=\int x\cdot \frac{1}{x}dx+\int ln|x|dx[/tex3]
[tex3]\int ln|x|dx =xln|x|-\int dx=x\cdot ln|x|-x=x(ln|x|-1)[/tex3]
Logo;
[tex3]\int ln\left|1-\frac{k}{m_0}t\right|dt=\frac{-m_0}{k}x( ln|x|-1)[/tex3]
[tex3]\int ln\left|1-\frac{k}{m_0}t\right|dt=\frac{-m_0}{k}(1-\frac{k}{m_0}t)(ln\left|1-\frac{k}{m_0}t\right|-1)[/tex3]
[tex3]\int ln\left|1-\frac{k}{m_0}t\right|dt=(t-\frac{m_0}{k})(ln\left|1-\frac{k}{m_0}t\right|-1)[/tex3]
Portanto;
[tex3]\int\limits_{0}^{t}ln\left|1-\frac{k}{m_0}t\right|dt=[(t-\frac{m_0}{k})(ln\left|1-\frac{k}{m_0}t\right|-1)]\operatorname{\Bigg|}\limits_{0}^{t}[/tex3]
[tex3]=(t-\frac{m_0}{k})(ln\left|1-\frac{k}{m_0}t\right|-1)-(0-\frac{m_0}{k})(ln\left|1-0\right|-1)[/tex3]
[tex3]\int\limits_{0}^{t}ln\left|1-\frac{k}{m_0}t\right|dt=(t-\frac{m_0}{k})(ln\left|1-\frac{k}{m_0}t\right|-1)-\frac{m_0}{k}[/tex3]
Daí;
[tex3]h(t)=-u \int\limits_{0}^{t}ln\left|1-\frac{k}{m_0}t\right|dt-g\frac{t^{2}}{2}[/tex3]
[tex3]h(t)=\frac{u\cdot m_0}{k}+u(\frac{m_0}{k}-t)(ln\left|1-\frac{k}{m_0}t\right|-1)-g\frac{t^{2}}{2}[/tex3]

[tex3]ii.iii)[/tex3]
Substituindo os valores, ficamos com:
[tex3]h(10)=\frac{5\cdot 10^{3}}{5\cdot 10^{-2}}+5\cdot 10^{3}\cdot \(\frac{1}{0,05}-10\)\(ln\left|1-0,05\cdot 10\right|-1\)-9,8\frac{10^{2}}{2}=[/tex3]
[tex3]=10^{5}+5\cdot 10^{3}\cdot (20-10)(ln\left|\frac{1}{2}\right|-1)-9,8\cdot 50=[/tex3]
[tex3]=10^{5}+5\cdot 10^{4}\cdot (-0,693-1)-9,8\cdot 50=10^{5}+5\cdot 10^{4}\cdot (-1,693)-490=[/tex3]
[tex3]=10^{5}+5\cdot 10^{4}\cdot (-1,693)-490=10\cdot 10^{4}-8,465\cdot 10^{4}-490=[/tex3]
[tex3]=(10-8,465)10^{4}-490=1,535\cdot 10^{4}-490=1,486\cdot 10^{4}m[/tex3]
Ou seja;
[tex3]h(10)=14,86km[/tex3]

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Utilizado como aproximação:
[tex3]ln(\frac{1}{2}) \approx-0,693[/tex3]
[tex3]ln(2) \approx0,693[/tex3]
[tex3]g \approx9,8m/s^{2}[/tex3]