(Olimpíada da Coreia) Geometria

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word123 Offline: Mensagens: 49; Registrado em: 27 Out 2013, 12:01; Agradeceu: 7 vezes; Agradeceram: 12 vezes

Mar 2014 03 11:57

(Olimpíada da Coreia) Geometria

Mensagempor word123 » 03 Mar 2014, 11:57

Mensagem por word123 » 03 Mar 2014, 11:57

Na figura abaixo, tem-se um triângulo onde [tex3]AB=BC[/tex3] e [tex3]P[/tex3] o seu circuncentro. Sabe-se também que [tex3]AD=BC[/tex3]. Logo, a medida do ângulo [tex3]BAC[/tex3] é:

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word123

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(Olimpíada da Coreia) Geometria

Últ. msg por RafaeldeLima « 30 Ago 2014, 02:32
Enviado em Olimpíadas
Resp.: 2
por word123 » 07 Mar 2014, 11:13 » em Olimpíadas

Primeira Postagem

word123

Na figura abaixo, tem-se um triângulo onde [tex3]AB=BC[/tex3] e [tex3]P[/tex3] o seu circuncentro. Sabe-se também que [tex3]AD=BC[/tex3]. Logo, a medida do ângulo [tex3]BAC[/tex3] é:

Últ. msg

RafaeldeLima

Olá word123,

Me parece um pouco estranha essa questão.
Tendo em vista que AB = BC = AD, então temos:

[tex3]BAC = BCA = \alpha[/tex3] e também [tex3]ABP = ADP[/tex3]

Como P é o centro do circuncentro, então os segmentos [tex3]PB = PC = PA = R[/tex3]...
juniorcesar1RafaeldeLima1word1231: 2 Resp.; 1084 Exibições; Últ. msg por RafaeldeLima
30 Ago 2014, 02:32

Olimpíada da Coréia do Sul - Divisibilidade

Últ. msg por Ittalo25 « 06 Jun 2017, 10:17
Enviado em Olimpíadas
Resp.: 1
por Auto Excluído (ID:17906) » 27 Abr 2017, 22:30 » em Olimpíadas

Primeira Postagem

Auto Excluído (ID:17906)

Encontre todos os inteiros [tex3]n[/tex3] tais que [tex3]2^{n} - 1[/tex3] é um múltiplo de [tex3]3[/tex3] e [tex3]\frac{2^{n} - 1}{3}[/tex3] é um divisor de [tex3]4m^{2} + 1[/tex3] para algum inteiro [tex3]m[/tex3].

Últ. msg

Ittalo25

se [tex3]m \equiv 0 \mod 3[/tex3] então [tex3]m^{2} \equiv 0 \mod 3[/tex3]

se [tex3]m \equiv 1 \mod 3[/tex3] então [tex3]m^{2} \equiv 1 \mod 3[/tex3]

se [tex3]m \equiv 2 \mod 3[/tex3] então [tex3]m^{2} \equiv 1 \mod 3[/tex3]

portanto...
Ittalo251Auto Excluído (ID:17906)1: 1 Resp.; 1250 Exibições; Últ. msg por Ittalo25
06 Jun 2017, 10:17

(Coréia - 2000) Equação

Últ. msg por Ittalo25 « 11 Abr 2019, 23:35
Enviado em Olimpíadas
Resp.: 1
por Hanon » 12 Jul 2018, 15:59 » em Olimpíadas

Primeira Postagem

Hanon

Mostre que dado um primo qualquer [tex3]p[/tex3], existem inteiros [tex3](x,y,z,w)[/tex3] satisfazendo:

[tex3]x^2+y^2+z^2-wp=0[/tex3].

Com [tex3]0 < w < p[/tex3]

Últ. msg

Ittalo25

Encontrei esta solução mas não consegui interpretar tudo: Mathematical Olympiads 2000-2001: Problems and Solutions from Around the World

Se [tex3]p=2[/tex3], então dá pra tomar [tex3](x,y,z,w) = (1,1,0,1) [/tex3]...
Hanon1Ittalo251: 1 Resp.; 1187 Exibições; Últ. msg por Ittalo25
11 Abr 2019, 23:35

(Coreia 1999) Divisibilidade

Últ. msg por Ittalo25 « 20 Ago 2020, 16:47
Enviado em Olimpíadas
Resp.: 2
por Auto Excluído (ID: 24633) » 20 Ago 2020, 11:54 » em Olimpíadas

Primeira Postagem

Auto Excluído (ID: 24633)

Encontre todos os inteiros [tex3]n[/tex3] tais que [tex3]2^n −1[/tex3] é um múltiplo de [tex3]3[/tex3] e [tex3]\dfrac{2^n − 1}{3}[/tex3] é um divisor de [tex3]4m^2 + 1[/tex3] para algum inteiro [tex3]m.[/tex3]

Últ. msg

Ittalo25

É fácil ver que [tex3]ord_3(2) = 2 [/tex3], portanto [tex3]2|n [/tex3] e [tex3]n=2a [/tex3]

[tex3]\dfrac{2^{2a} − 1}{3} = \dfrac{4^{a} − 1}{3}[/tex3]

Agora se fizer [tex3]a = 2^k [/tex3] vai ficar melhor ainda, já que:

\dfrac{4^{2^k} −...
Ittalo251Auto Excluído (ID: 24633)2: 2 Resp.; 1239 Exibições; Últ. msg por Ittalo25
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