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Na figura abaixo, tem-se um triângulo onde [tex3]AB=BC[/tex3] e [tex3]P[/tex3] o seu circuncentro. Sabe-se também que [tex3]AD=BC[/tex3]. Logo, a medida do ângulo [tex3]BAC[/tex3] é:

Olá word123,

Me parece um pouco estranha essa questão.
Tendo em vista que AB = BC = AD, então temos:

[tex3]BAC = BCA = \alpha[/tex3] e também [tex3]ABP = ADP[/tex3]

Como P é o centro do circuncentro, então os segmentos [tex3]PB = PC = PA = R[/tex3]

Como [tex3]\Delta ABP \ \ e \ \ \Delta BCP[/tex3] são isósceles, então:

[tex3]PAB = PBA = \beta \ [/tex3] e [tex3]\ \ PBC = PCB = \beta[/tex3].

O angulo APB observa o arco AB da circunferência, assim como o angulo ACB também o faz.

Sabendo que o ponto P é o centro da circunferência e que o ponto C está sobre a circunferência, então necessariamente:

[tex3]APB = 2 . (ACB)[/tex3]

Analogamente, isso também vale para os outros ângulos sujeitos as mesmas condições.

Analisando os angulos do [tex3]\Delta APB[/tex3] temos:

[tex3]\boxed{2\alpha + 2\beta = 180}[/tex3]

Analisando os angulos do [tex3]\Delta APD[/tex3] temos:

[tex3]3\beta + \alpha - \beta = 180 \\ \boxed{\alpha + 2\beta = 180}[/tex3]

Eis que surge o absurdo:

[tex3]\begin{cases}2\alpha + 2\beta = 180 \\ \alpha + 2\beta = 180 \end{cases}[/tex3]

Conclui-se imediatamente que:

[tex3]\alpha = 0 \\ \beta = 90^{\circ}[/tex3]

Não sei o que acontece aqui, se notar algum erro avise.

Gabarito é 20 ?