IME / ITA ⇒ (Colégio Naval - 1990) Equação Literal do 2º Grau Tópico resolvido

[eusebio C.N 2008]

A equação do 2º grau [tex3]x^2-2x+m,\,\,m\,<\,0,[/tex3] tem raízes [tex3]x_1\,\,\text{e}\,\,x_2.[/tex3] Se [tex3]x_1^{n-2}\,+\,x_2^{n-2}\,=\, a[/tex3] e [tex3]x_1^{n-1}\,+\,x_2^{n-1}= b[/tex3] então [tex3]x_1^{n}+x_2^{n}[/tex3] é igual a:

a) [tex3]2a+mb\hspace{40pt}[/tex3] b) [tex3]2b-ma\hspace{40pt}[/tex3] c) [tex3]ma+2b\hspace{40pt}[/tex3] d) [tex3]ma-2b\hspace{40pt}[/tex3] e) [tex3]m(a-2b)\hspace{40pt}[/tex3]


desde ja agradeço pela resoluçao






[tex3]\,[/tex3]

[fabit]

Faltou o "=0" no final da equação, mas deu pra entender.

Vou tentar.

Por soma e produto (Girard), temos [tex3]\{{x_1+x_2=2}\\{x_1x_2=m}[/tex3]

Além disso, são dados [tex3]\{{x_1^{n-2}+x_2^{n-2}=a}\\{x_1^{n-1}+x_2^{n-1}=b}[/tex3] e pede-se o valor de [tex3]x_1^n+x_2^n[/tex3]

[tex3]\frac{x_1^n}{x_1^2}+\frac{x_2^n}{x_2^2}=a\Rightarrow\frac{x_2^2x_1^n+x_1^2x_2^n}{(x_1x_2)^2}=a\Rightarrow x_2^2x_1^n+x_1^2x_2^n=am^2[/tex3]

[tex3]\frac{x_1^n}{x_1}+\frac{x_2^n}{x_2}=b\Rightarrow\frac{x_2x_1^n+x_1x_2^n}{x_1x_2}=b\Rightarrow x_2x_1^n+x_1x_2^n=bm[/tex3]

É como se [tex3]x_1^n[/tex3] e [tex3]x_2^n[/tex3] fossem as soluções de um sistema 2 por 2. Basta resolver e depois somar.

Por Cramer, [tex3]x_1^n=\frac{am^2.x_1-bm.x_1^2}{x_2^2.x_1-x_2.x_1^2}[/tex3] e [tex3]x_2^n=\frac{bm.x_2^2-am^2.x_2}{x_2^2.x_1-x_2.x_1^2}[/tex3]

Logo [tex3]x_1^n+x_2^n=\frac{am^2(x_1-x_2)+bm(x_2^2-x_1^2)}{x_2^2.x_1-x_2.x_1^2}=\frac{m(b(x_2^2-x_1^2)-am(x_2-x_1))}{x_1x_2(x_2-x_1)}[/tex3]

[tex3]=\frac{m(b(x_2+x_1)\cancel{(x_2-x_1)}-am\cancel{(x_2-x_1)})}{m\cancel{(x_2-x_1)}}=\frac{\cancel{m}(b.2-am)}{\cancel{m}}=2b-am[/tex3]

Letra B

Wow!

[eusebio C.N 2008]

gostei do seu raciocinio mas nao entendi a parte " cramer "
a resposta é letra b to quebrando a kbeça com essa questao